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Le cours porte sur la détermination du nombre d'anagrammes pour différents mots. Un anagramme est un arrangement des lettres d'un mot pour former un autre mot. Pour calculer le nombre d'anagrammes, il faut utiliser des notions de permutations et de combinaisons. 

Dans le cas des mots ABC, CHA, CHIEN et VALISE, le nombre d'anagrammes peut être calculé en utilisant la formule du factoriel. Par exemple, pour ABC, il y a 3! (3 factoriel) façons de combiner les lettres. Pour CHA, CHIEN et VALISE, il y a respectivement 3!, 4! et 6! anagrammes possibles. 

Cependant, la deuxième partie du cours aborde des mots qui contiennent des lettres répétées, comme AXA. Dans ces cas, il faut diviser le nombre d'anagrammes par le nombre de permutations possibles pour les lettres répétées. Par exemple, pour AXA, il y a 3! façons de combiner les lettres, mais il faut diviser par 2! parce qu'il y a deux A. 

Le même raisonnement s'applique aux mots abracadabra, qui contient des lettres répétées (5 A, 2 B et 2 R). Dans ce cas, il faut diviser le nombre d'anagrammes total par le produit des factoriels des nombres de répétitions de chaque lettre. Par exemple, pour abracadabra, il y a 11! façons de combiner les lettres, mais il faut diviser par 5! (pour les A), 2! (pour les B) et 2! (pour les R). 

En utilisant cette méthodologie de comptage, on peut déterminer le nombre d'anagrammes pour différents mots et prendre en compte les lettres répétées. Cette approche permet d'obtenir des résultats précis et compréhensibles.

Alors, déterminer le nombre d'anagrammes. Anagramme, au cas où vous n'êtes pas au courant, c'est, quand je prends des lettres, je prends un mot, celui-là est ABC, c'est le nombre de manières que j'ai de combiner les lettres. Donc une notion d'ordre quand même qui va être assez importante. Et les anagrammes de ABC, par exemple, ça va être, je ne sais pas, BAC, donc BAC, CBA, CAB, je ne sais rien, ACB, etc. Vous comprenez l'idée. Déterminer le nombre d'anagrammes de ABC, puis de CHA, puis de CHIEN, puis de VALISE. Anagramme, c'est, si vous voulez, je vais refaire mes petites boîtes à pilules, mais moi je veux savoir, comment j'ai le choix pour ranger 3 éléments dans 3 cases. C'est ça un anagramme. J'ai 3 cases pour 3 éléments. Pour utiliser un peu des mots officiels du programme, 3 cases pour 3 éléments, ça c'est une permutation. Je comprends que le nombre d'anagrammes, c'est 3 factoriales. Pourquoi ? Parce que dans la première case, je peux caser 3 objets. Dans la deuxième, 2. Dans la dernière, plus qu'un. Tout ça, ça fait 3 fois 2 fois 1, ça fait 3 factoriales. Donc pour le mot CHIEN, CHA, VALISE, ça va être la même chose. Donc si je prends ça, j'ai ABC, je vais pouvoir dire 3 factoriales, 4 factoriales, 5 factoriales et 6 factoriales. C'est pas pris la tête, vous allez me dire, mais c'est ça l'idée. Je veux ranger dans 6 cases, les 6 lettres de valise, et savoir combien de manières j'ai de faire ça, c'est 6 factoriales. Question un peu plus piégeuse, la question petit 2. Question petit 2, cette fois-ci on vous propose d'autres mots, et vous allez voir tout de suite la différence. Cette fois-ci ce sont des mots qui ont une particularité, c'est que c'est pas des lettres uniques. Cette fois-ci j'avais ABC, si vous voulez j'avais CHA, j'avais CHIEN, tout ce que vous voulez, mais j'avais que des lettres utilisées une fois uniques. Ici, le fait que j'ai AXA par exemple, celui-ci j'ai A1, A2, moi en tant que lecteur, celui-ci quand je vois AXA écrit avec le A1 en premier, le A2 en deuxième, ou A2, X, A1, en fait il n'y a pas de 2 et de 1, parce que je ne vois pas la différence. Donc l'idée c'est qu'il ne faut pas se tromper, il faut calculer le nombre de possibilités de ranger ces lettres-là, en retirant un certain nombre. Laissez-moi tracer un peu pour vous montrer et expliquer le raisonnement. Si je fais AXA, je peux faire ça et ça. Si on suppose que les deux A sont distincts, je pourrais écrire ça. Deuxième type de combinaison ce serait AAX, donc A1, A2, A2, A1, X. J'ai la position du X qui varie, là étant en deuxième, là le X est en troisième, le dernier choix c'est X en premier. Et donc je me retrouve avec quoi ? J'ai bien 6 choix, donc c'est bien 3! comme tout à l'heure, comme si j'avais en fait 3 lettres distinctes ABC, donc là c'est A1, A2, X. Mais pour chacun des choix, vu que j'ai 2 A, je dois diviser par 2. Je dois diviser par 2 parce qu'en fait pour chacun des choix AXA, je me rends compte qu'il y en a, j'en ai calculé 2. Quand je fais 3! j'en ai calculé 2 qui sont en fait les mêmes. Donc pourquoi je le divise par 2 ? Parce que j'ai 2 pour cette combinaison AXA, j'ai 2 différents que j'ai comptés, enfin j'ai une combinaison mais qui a été comptée 2 fois, cette combinaison a été comptée 2 fois également. Celle-ci également, une fois que je pars du principe que A1, A2, enfin les petits nombres 1 et 2 n'existent pas, parce que c'est juste les mêmes A, je dois comprendre que j'ai tout dédoublé. Et donc je divise par 2 mon résultat final. Donc au lieu d'avoir 6 choix, j'en ai que 3 qui sont AAX, AXA, XAA. Mais pourquoi je me suis embêté à faire comme s'il y avait A1, A2 ? C'est pour reprendre le raisonnement précédent. Je comparais AXA à ABC. Pareil pour l'auto. Alors je ne vais pas vous faire toutes les combinaisons, parce que c'est un peu chiant, mais pour l'auto, je pourrais dire que j'ai, si on fait un raisonnement un peu plus large, on va comprendre ça, j'ai 4 factoriels. Mais ensuite pour chacune des combinaisons que je pose de factoriels, pour chacune des combinaisons des mots, sur les gens par exemple O, T, L, O, j'ai combien de manières pour une combinaison posée, j'en ai un certain nombre, O, T, L, O par exemple, combien j'ai de manières d'avoir les O qui changent. O, T, L, O m'en donne 2. Si vous voyez, les combinaisons O, T, L, O me donnent 2 combinaisons. O1, T, L, O1, O2 pardon, O2, T, L, O1. Donc en fait si je suis en train de dire que c'est 4 factoriels, quand je dis 4 factoriels, comme s'il y avait un O1 et un O2, je me rends compte qu'en fait je compte à chaque fois 2 fois. Donc ce que je me dis c'est que, ok j'ai 4 factoriels choix, mais je dois prendre en compte le fait que j'ai deux places possibles, j'ai une permutation des deux éléments. Donc je divise par le nombre de permutations possibles pour l'élément qui est en double. Donc par exemple là l'élément qui est en double, il peut être une fois A1, A2 ou une fois A2, A1, pareil le O il peut être là et là, ou là et là, et pour chacune des différentes combinaisons, il faut que je divise par 2. Donc en fait je ne divise pas par 2, je divise par 2 factoriels. Ça vaut 2. Je divise par le nombre de permutations possibles de l'élément qui est en double. Visir ça va être la même chose. Si on a compris ça, en fait on peut ensuite le généraliser vachement vite. C'est à dire que visir, en fait ça serait 5 factorials, mais pour chaque combinaison que j'ai écrite, 2, pour chaque combinaison que j'ai écrite, je vois que le i, qui est en double, peut permuter 2 fois. Je peux ranger le i, quand je fixe visir visadr, quand je fixe cet endroit là, je vois que le i peut être 2 fois à 2 endroits. Donc j'ai compté ces deux là, et donc il faut que je divise par ce nombre de permutations possibles de i. Et abracadabra, alors là c'est un sketch, abracadabra c'est vraiment le... J'aime bien ce texte-là parce que quand je l'ai vu, je me suis dit comment je vais faire ce truc. En fait c'est gérable, mais il faut vraiment penser comme je vous montre en termes de dénombrement. Le premier truc c'est qu'on va compter les lettres. J'ai combien de a dans abracadabra ? J'ai 1, 2, 3, 4, 5. Donc pour une combinaison de lettres données, donc j'ai combien de lettres au total ? 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. J'aurais 11 factorials. Pour une combinaison donnée, j'ai 5 a. Donc il faut que je dise... Moi quand je dis 11 factorials, j'ai compté toutes les différentes possibilités pour les 5 a de se bouger. J'ai compté ça... Si j'appelle ça a1, a2, a3, a4, a5, j'ai aussi compté celle où il y a le a3, le a2, le a4, le a1, le a5 ici. J'aurais compté en fait 5 factorials fois trop. Quand je fixe abracadabra dans cet endroit-là, quand je dis 11 factorials, j'en compte 5 factorials trop. 5 factorials correspondant au nombre de manières que j'ai de ranger, de permuter mes 5 a entre les 5 places. Donc je suis obligé de diviser par 5 factorials. Vous remarquez déjà que je ne le mets pas au milieu, je le mets ici. Pourquoi ? Parce qu'en fait, il y a autre chose. Il n'y a pas que les a qui sont multiples, il y a aussi le b. Le b, par exemple, on en a 2. Si je vais jusqu'au bout, le r, j'en ai aussi 2. Après le c, le d sont uniques, donc il n'y a pas de problème. Donc tous les b, à chaque fois que j'ai une combinaison, je peux aussi les permuter de deux manières. Il faut que je divise par 2 factorials. Et les r, c'est la même chose. Donc je me retrouve avec ce nombre-là. Ce résultat n'était pas intuitif. Vous pouvez vous demander, mais qu'est-ce qu'il a à chercher à mettre des 3 factorials ? A partir d'un truc faux et à le corriger, c'est bizarre. Mais c'est un peu le principe du raisonnement de comptage ici. Il me semble que la manière la plus rapide et la plus compréhensible, c'est ça. C'est celle où on part du nombre total et on corrige. En comprenant ce qui se passe, en comprenant le surplus, on peut corriger.

Cours par cas pratiques !

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