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Somme de VA Espérance Variance

Dans cette vidéo, Corentin nous présente un exercice de probabilité concernant une roue de loterie. La roue comporte cinq secteurs angulaires égaux, où les deux premiers valent 300 points, le troisième vaut 100 points et les deux derniers valent -400 points. En faisant tourner la roue quatre fois, nous obtenons la somme de points gagnés lors de ces quatre lancées, représentée par la variable aléatoire Z. Nous devons décomposer Z en une somme de variables aléatoires identiques et indépendantes, puis calculer l'espérance de Z.

En utilisant un dessin de la roue, Corentin explique que Z est égal à la somme des variables aléatoires x1, x2, x3 et x4. Z représente le gain algébrique en points à la fin du jeu, pouvant prendre des valeurs positives ou négatives. Les x1, qui représentent le gain algébrique lors du ième lancé, suivent la loi suivante : 300 avec une probabilité de 0,4, 100 avec une probabilité de 0,2 et -400 avec une probabilité de 0,4.

Pour calculer l'espérance de Z, Corentin utilise la propriété de linéarité de l'espérance. Ainsi, l'espérance de Z peut être décomposée en l'espérance de x1 plus l'espérance de x2 plus l'espérance de x3 plus l'espérance de x4. Puisque toutes les variables x suivent la même loi, l'espérance de x est égale à (300*0,4) + (100*0,2) + (-400*0,4), ce qui donne -20.

En conclusion, l'espérance de Z est égale à 4 fois -20, ce qui donne -80. Cela signifie que, en moyenne, les joueurs perdront 80 euros ou 80 points en jouant à ce jeu.

Salut à tous, c'est Corentin, bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui autour d'un exercice de somme de variables aléatoires indépendantes suivant toute une mémoire. Alors commençons par la lecture de l'énoncé. Comme d'habitude, pour un exercice de probabilité, l'énoncé est assez long et assez textuel. Je vous conseille de prendre des notes et de surligner les passages importants. Commençons. Une roue de loterie comporte cinq secteurs angulaires égaux. Les deux premiers secteurs valent 300 points, le troisième vaut 100 points et les deux derniers secteurs valent moins 400 points. On fait tourner quatre fois de suite cette roue et on gagne la somme de points obtenues lors des quatre lancées de roues. Z est alors la variable aléatoire donnant le gain algébrique en points à la fin du jeu. On nous demande alors de décomposer Z dans une somme de variables aléatoires identiques et indépendantes puis de calculer l'espérance de Z. Voici un dessin de la roue. On remarque que pour ce secteur-là, on gagne 300 points, pour ce secteur-là, 100 points et pour ce secteur-là, moins 400 points. Et puis moi, ce que j'ai envie de dire, c'est que Z est égal à x1 plus x2 plus x3 plus x4. Z est bien sûr la variable aléatoire donnant le gain algébrique en points à la fin du jeu. Algébrique, ça veut dire que Z peut prendre des valeurs positives comme négatives. Et x1, c'est la variable aléatoire donnant le gain algébrique au ième lancé de roues. À partir de là, les x1, on se rend compte qu'ils suivent toute la loi suivante. x1 vaut 300 avec probabilité 0,4, 100 avec probabilité 0,2 et moins 400 avec probabilité 0,4. À partir de là, le calcul de l'espérance de Z se décompose en espérance de x1 plus x2 plus x3 plus x4. Par l'inarrêté de l'espérance, on a le droit de dire que c'est l'espérance de x1 plus l'espérance de x2 plus l'espérance de x3 plus l'espérance de x4. Ce qui est égal à 4 fois l'espérance de x1 puisque les ici suivent toute la même loi. Or, l'espérance de x est égale à 300 fois 0,4 plus 100 fois 0,2 plus moins 400 fois 0,4. Et ça, ça vaut moins 20. On en déduit donc que l'espérance de Z est égale à 4 fois moins 20 est égale à moins 80. C'est-à-dire, en interprétant un peu, qu'en moyenne, les joueurs vont perdre 80 euros ou 80 points en moyenne en jouant à ce jeu-là.

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