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Fonctions (2) : classe Ck

Dans ce cours, nous nous intéressons à la dérivabilité en un point lorsque les fonctions ont différentes expressions sur leur ensemble de définition. Nous commençons par l'exemple classique de la fonction sin(x)/x, qui n'est pas définie en zéro car on ne peut pas diviser par zéro. Cependant, cette fonction tend vers 1 lorsque x tend vers zéro, donc nous pouvons "prolonger" la fonction en zéro en posant f(0)=1. Ensuite, nous nous demandons si cette fonction est dérivable en zéro. Pour répondre à cette question, nous utilisons la définition de la dérivabilité et calculons le taux d'accroissement, qui s'avère être 1. Ainsi, la fonction est bien dérivable en zéro. 

Ensuite, nous étudions deux autres exemples de fonctions avec des expressions différentes sur leur ensemble de définition. Dans le premier exemple, la fonction est x/(1+|x|). Nous remarquons que cette fonction est continue partout sauf en zéro, où |x| n'est pas dérivable. Pour savoir si la fonction est dérivable en zéro, nous devons utiliser la définition et calculer le taux d'accroissement, qui tend vers 1. Par conséquent, la fonction est bien dérivable en zéro. Dans le deuxième exemple, la fonction est xsin(x)sin(1/x), avec g(0)=0. Nous constatons que cette fonction est continue, mais nous devons utiliser la définition de la dérivabilité pour savoir si elle est dérivable en zéro. En calculant le taux d'accroissement, nous obtenons sin(x)sin(x), qui tend vers zéro. Cependant, sin(x) n'a pas de limite, ce que nous prouvons en montrant qu'il existe des valeurs de x pour lesquelles sin(1/x) = 1 ou -1. Par conséquent, nous concluons que la fonction g n'est pas dérivable en zéro. 

Enfin, nous examinons un dernier exemple, la fonction |x|sin(x). Cette fonction est parfaitement définie, mais |x| n'est pas dérivable en zéro. En utilisant la définition de la dérivabilité, nous calculons le taux d'accroissement, qui tend vers zéro. Par conséquent, la fonction h est dérivable en zéro et h'(0)=0. 

En résumé, pour déterminer si une fonction est dérivable en un point lorsque les fonctions ont différentes expressions sur leur ensemble de définition, nous devons recalculer le taux d'accroissement en utilisant la définition de la dérivabilité. C'est ainsi que nous pouvons dire si la fonction est dérivable ou non. La question de savoir si la dérivée est continue sera abordée dans d'autres méthodes.

Salut à tous, après le tout d'accroissement pour trouver le nombre dérivé, on va regarder la dériviabilité en un point quand les fonctions ont différentes expressions sur leur ensemble de définitions. Donc typiquement, l'exemple le plus classique c'est sin x sur x. Sin x sur x n'est pas dérivable en zéro, enfin pardon, je voulais dire n'est pas définie en zéro, parce que x on ne peut pas diviser par zéro. Mais sin x sur x tend, quand x tend vers zéro, tend vers 1, parce que sin x est équivalent à x. Les deux dans le combat que représente la division, ce sont des combats à force égale, donc ça tend vers 1. Donc on peut ce qu'on appelle prolonger, vous l'avez vu, prolonger la fonction en zéro et dire je pose f de zéro égale 1. Ensuite se pose la question, est-ce qu'elle est dérivable cette fonction en zéro ? Là vous n'avez aucun théorème, on ne peut pas utiliser les formules, parce que j'ai deux expressions différentes. Je pose f de zéro égale 1, et en dehors de zéro, c'est sin x sur x. Donc là la réponse, est-ce qu'elle est dérivable ou pas, ça dépend des fonctions, et c'est justement ce qu'on va étudier là, et on va voir un peu ce que ça donne. Donc première fonction, c'est x sur 1 plus valeur absolue de x. Déjà, si on n'a pas de problème de définition, puisque 1 plus valeur absolue de x ne s'annule pas, mais on a un autre problème, c'est que valeur absolue de x, on sait, n'est pas dérivable en zéro. Donc là, pour savoir si f est dérivable en zéro, il faut revenir à la définition. Par ailleurs, sur R étoile, partout ailleurs qu'en zéro, il n'y a pas de problème. En valeur absolue de x, x est strictement positif, ça vaut moins x, x est strictement négatif, donc là on peut utiliser nos formules, il n'y a aucun problème. Par contre, c'est en zéro, il faut calculer le taux d'effacement. Donc on calcule f de x moins f de zéro sur x moins zéro. Alors, il y a certains cas où il faut peut-être distinguer la limite à gauche ou à droite, ça c'est possible. Là, on va voir que ce n'est pas le cas, parce que quand je divise par 1 sur x, ça me donne 1 sur 1 plus valeur absolue de x, quand x tend vers zéro, ça tend vers 1, soit à gauche ou à droite, donc pas de problème. Donc finalement, f est bien dérivable en zéro, qui ne vaut pas du tout zéro, mais qui vaut 1. Alors que la fonction valeur absolue, elle n'est pas dérivable en zéro. Deuxième exemple, c'est x sin x fois sin 1 sur x, c'est x différente de zéro, et on pose g de zéro égale à zéro. Alors déjà, on pourrait regarder, vous savez que pour être dérivable, il faut au moins qu'elle soit continue la fonction. Donc on pourrait regarder est-ce qu'elle est déjà continue, est-ce que zéro est un prolongement par continuité. On peut rapidement voir que oui, ce n'est pas la question, mais on peut rapidement voir que oui, parce qu'en fait le sin x, on l'encadre entre moins 1 et 1, sin 1 sur x, on l'encadre entre moins 1 et 1, et donc j'obtiens que cette expression, elle est comprise entre plus et moins x. Je peux tendre x vers zéro, par théorème d'encadrement, j'obtiens bien que ça tend vers zéro. Donc elle est bien continue cette fonction. Continue, ça veut dire qu'elle peut être dérivable, si elle n'était pas continue, c'était réglé. Là j'ai bien deux expressions différentes de g. Je suis obligé de revenir à la définition pour voir si elle est dérivable en zéro. Je calcule, vous avez l'habitude, g de x moins g de zéro sur x, et ça fait sin x fois sin x. Donc ça, ça tombe bien vers zéro. Par contre, sin x n'a pas de limite. Maintenant, on va justifier proprement que sin x n'a pas de limite. A quoi ça ressemble un sur x ? Si vous regardez ça, ça tend vers zéro, en plus c'est moins infini. Au fur et à mesure qu'on s'approche de zéro, les oscillations s'excitent. Ça s'excite de plus en plus. Il n'y aura pas de limite. Un moyen rigoureux de le faire, c'est de dire que je vais contredire la définition de la limite. Je vais trouver des valeurs de sin x pour lesquelles ça vaut plus ou moins 1. Je pose x égale 1 sur x, sin x, x égale 1, c'est-à-dire que x égale pi sur 2 plus kpi. Sin x vaut moins 1, c'est-à-dire que x égale moins pi sur 2 plus kpi, k2pi. Sin 1 sur x égale 1, c'est-à-dire que x est de cette forme. De la même manière, sin 1 sur x égale moins 1, c'est-à-dire que x est de cette forme. On suppose que sin 1 sur x tend vers une limite L, L appartenant forcément à moins 1, si on revient à la définition, je pose epsilon égale 1 moins L sur 2. Pourquoi il vient d'où ce 1 moins L sur 2 ? Je prends une limite L et je veux que l'écart L plus epsilon L moins epsilon, ici, il soit compris, il faut qu'il soit strictement inférieur à 1, et strictement supérieur à moins 1. Comme ça, je sais qu'à partir d'un certain rang, s'il y avait des convergences vers L, je serais forcément compris dans cet intervalle. Or, ce n'est pas possible, parce qu'on a vu qu'il y aura toujours des valeurs de x pour lesquelles sin 1 sur x va être égal à 1 moins 1. Je fais le raisonnement formel. Si sin x tend vers L, il existe A, tel que si x moins 0 est un intervalle, si x moins 0 est inférieur à A, sin 1 sur x va être inférieur à L plus epsilon, et donc tel que j'ai choisi epsilon, qui va être inférieur strict à 1. C'est tout l'intérêt du epsilon que j'ai choisi. Or, on a vu que quel que soit k appartenant à L, ça, c'est égal à 1. Sinus de ce truc-là. Or, vous voyez que k, il est libre. Donc k, je peux le prendre très grand. Je peux forcément trouver un k tel que, en fait, un k0, je l'appelle, tel que 1 sur pi sur 2 plus 2kpi0 est inférieur à A. Je résous l'inéquation, c'est-à-dire que k0 doit être supérieur à ce truc-là. Je prends le premier entier au-dessus de ça, que k est forcément l'entier. Et donc, je pose x0 égale pi sur 2 plus 2kpi0, tel que je l'ai choisi, j'ai forcément x0 qui est inférieur à A, d'après ce que j'ai dit, et sinus de x0 qui est égal à 1. Ça contredit mon hypothèse de convergence parce que je devrais être dans l'intervalle L moins epsilon, L plus epsilon, qui est, je rappelle ce petit dessin, qui est forcément strictement en dessous de 1. Ce n'est pas une question facile de montrer que sinus 1 sur x n'a pas de limite en 0, mais en revenant à la définition, là, j'ai montré qu'il n'y a pas de limite. Sinus x a une limite qui vaut 0, mais donc finalement on a vu un exemple de G qui n'est pas dérivable en 1. Un autre exemple maintenant, valeur absolue de x sinus x. Là, on a toujours le même problème, elle est parfaitement définie cette fonction, par contre, valeur absolue de x n'est pas dérivable en 0. Donc, je vais revenir à la définition et calculer le taux d'encroissement. Je calcule h de 0 sur x, ça fait valeur absolue de x sinus x. Et là, par contre, ça vaut plutôt moins 1. Voilà, valeur absolue de x sur x, selon si x est négative ou pas. Donc là, je vais encadrer je sais que c'est inférieur à sinus x, c'est supérieur à moins sinus x. Mais du coup, par encadrement, quand x est envers 0, j'ai bien cette expression-là qui est envers 0, donc h est bien dérivable en 0, et h plus 0 vaut 0. Donc là, vous avez vu différents cas de figure. Systématiquement, il faut recalculer le taux d'encroissement pour ce genre de fonction, et voir est-ce que le taux d'encroissement a une limite ou pas. Il n'y a que comme ça qu'on peut savoir si la fonction est dérivable. Et la question d'après, c'est est-ce que la dérivée est continue ? Donc ça, on verra dans d'autres méthodes. En fait, on va utiliser l'expression de la dérivée avec les formules habituelles. On prend l'expression en 0, ou le point qui nous intéresse, et on regarde est-ce que la limite de la dérivée quand x tend vers 0, ça tend bien vers ce point-là. Donc ça, on le fera de toute façon dans d'autres méthodes, mais c'est le niveau d'après, on va dire. Voilà pour cette méthode.

Fonction C1

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