All subjects
- All subjects
Fonction C1
Dans ce cours, nous nous intéressons à la dérivabilité en un point lorsque les fonctions ont différentes expressions sur leur ensemble de définition. Nous commençons par l'exemple classique de la fonction sin(x)/x, qui n'est pas définie en zéro car on ne peut pas diviser par zéro. Cependant, cette fonction tend vers 1 lorsque x tend vers zéro, donc nous pouvons "prolonger" la fonction en zéro en posant f(0)=1. Ensuite, nous nous demandons si cette fonction est dérivable en zéro. Pour répondre à cette question, nous utilisons la définition de la dérivabilité et calculons le taux d'accroissement, qui s'avère être 1. Ainsi, la fonction est bien dérivable en zéro.
Ensuite, nous étudions deux autres exemples de fonctions avec des expressions différentes sur leur ensemble de définition. Dans le premier exemple, la fonction est x/(1+|x|). Nous remarquons que cette fonction est continue partout sauf en zéro, où |x| n'est pas dérivable. Pour savoir si la fonction est dérivable en zéro, nous devons utiliser la définition et calculer le taux d'accroissement, qui tend vers 1. Par conséquent, la fonction est bien dérivable en zéro. Dans le deuxième exemple, la fonction est xsin(x)sin(1/x), avec g(0)=0. Nous constatons que cette fonction est continue, mais nous devons utiliser la définition de la dérivabilité pour savoir si elle est dérivable en zéro. En calculant le taux d'accroissement, nous obtenons sin(x)sin(x), qui tend vers zéro. Cependant, sin(x) n'a pas de limite, ce que nous prouvons en montrant qu'il existe des valeurs de x pour lesquelles sin(1/x) = 1 ou -1. Par conséquent, nous concluons que la fonction g n'est pas dérivable en zéro.
Enfin, nous examinons un dernier exemple, la fonction |x|sin(x). Cette fonction est parfaitement définie, mais |x| n'est pas dérivable en zéro. En utilisant la définition de la dérivabilité, nous calculons le taux d'accroissement, qui tend vers zéro. Par conséquent, la fonction h est dérivable en zéro et h'(0)=0.
En résumé, pour déterminer si une fonction est dérivable en un point lorsque les fonctions ont différentes expressions sur leur ensemble de définition, nous devons recalculer le taux d'accroissement en utilisant la définition de la dérivabilité. C'est ainsi que nous pouvons dire si la fonction est dérivable ou non. La question de savoir si la dérivée est continue sera abordée dans d'autres méthodes.
