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Suites géométriques : démo
Dans cette vidéo, nous allons démontrer les intuitions graphiques sur la limite des suites géométriques.
Premièrement, si Q est strictement plus grand que 1, nous allons montrer que Q puissance n tend vers l'infini. Pour cela, nous utilisons l'inégalité de Bernoulli et le terrain de comparaison. Nous écrivons Q égal à 1 plus h, où h est positif. En utilisant l'inégalité de Bernoulli, nous obtenons que 1 plus h puissance n est plus grand ou égal que 1 plus n h. Comme 1 plus n h est une suite arithmétique de raison positive qui tend vers l'infini, nous pouvons conclure que Q puissance n tend vers l'infini.
Ensuite, pour le cas où Q est entre 0 et 1, nous posons P égal à 1 sur Q. En appliquant le résultat précédent à P puissance n, nous obtenons que P puissance n tend vers l'infini. Comme Q puissance n est égal à 1 sur P puissance n, cela tend vers 1 sur l'infini, soit 0.
Enfin, pour le dernier cas, nous utilisons le théorème des gendarmes. Nous posons s égal à moins Q, pour se rapporter au cas précédent. En utilisant le fait que s puissance n tend vers 0, nous pouvons encadrer Q puissance n entre moins s puissance n et s puissance n. Comme les deux encadrements convergent vers 0, nous pouvons conclure que Q puissance n tend également vers 0.
En résumé, nous avons démontré les trois cas de la limite des suites géométriques. Le premier cas nécessite l'utilisation de l'inégalité de Bernoulli et constitue une démonstration plus approfondie. Les deux autres cas utilisent des astuces pour simplifier la démonstration. Il est important de connaître cette démonstration par cœur.
