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Analyse

Limites de Suites

Dans ce cours, on étudie une suite mathématique de la forme vn = 6n + 3 / (n + 1). Pour commencer, nous analysons ses variations en utilisant le critère de croissance qui compare vn+1 / vn avec 1. Nous montrons que ce ratio est supérieur à 1, ce qui signifie que la suite est strictement croissante.

Ensuite, nous déterminons une borne supérieure pour la suite. En particulier, nous prouvons que vn est inférieur ou égal à 6 pour tout n. Ceci est établi en utilisant une équivalence logique qui simplifie l'expression de vn en ajoutant et en soustrayant 6.

Enfin, nous appliquons le théorème de convergence monotone pour conclure que la suite vn converge. En effet, nous avons montré qu'elle est à la fois croissante et bornée, ce qui implique sa convergence. La limite de la suite vn est donc égale à 6.

Donc je vais commencer avec une première méthode, c'est-à-dire le truc un peu classique qu'on a dans le nom. On vous donne une suite, vn égale 6n plus 3 sur n plus 1, étudiez les variations, montrez qu'elle est majorée, en déduire qu'elle est convergente. Très classique, donc ce que je vais faire, on va commencer par les variations. Première remarque, on a une suite qui est sous la forme, qu'on regarde ici là, qui est sous la forme d'une division, d'un quotient. Vu que c'est un quotient, je vais plutôt avoir tendance à me dire que je vais utiliser le critère de croissance qui est avec vn plus 1 divisé par vn, et voir si ce ratio est plus grand ou plus petit que 1. Donc c'est ce que je vais faire tout de suite. 1 sur vn j'inverse, donc j'écris n plus 1 sur 6n plus 3. Ça nous fait... Je peux factoriser par 3 en haut et en bas les deux 6n ici. Puis ça va s'arranger à peu près. Jusqu'à là c'est un peu laborieux mais on peut simplifier par 3 ici. L'idée c'est que si je développe complètement en haut et en bas, je trouve 2n² plus... J'ai combien de n ici ? J'ai 2n, plus 3n ça fait 5n, plus 3. Et en bas, j'ai 2n² plus 5n également, plus 2. Donc je peux dire que ça c'est supérieur strict à 1. Tout simplement parce que le truc au-dessus est plus grand que le truc en dessous. Parfait. Donc ça va et on peut en déduire la suite vn est croissante strictement. Petit 2, ce qu'on peut faire c'est montrer qu'elle est majorée par 6. C'est tout de suite partir du résultat. vn plus le signe où il y a la 6. On pourrait dire qu'à partir de n, vn plus le signe où il y a la 6. Si et seulement si, on fait un raisonnement par équivalence et on voit ce que ça donne. Donc si on fait un raisonnement par équivalence, on va essayer de voir si on n'arrive pas à la fin, à quelque chose d'évident. 6n plus 3. Ça va se faire en 2-2, ça fait si et seulement si. Si je veux vraiment insister, si et seulement si, 3 plus le signe où il y a la 6. Ce qui est vrai. Donc vn plus le signe où il y a la 6. Comme ça c'est vrai, par équivalence ça c'est vrai, ça c'est vrai, ça c'est vrai aussi. Donc on dit, le truc que je veux, vn plus le signe où il y a la 6, est équivalent à quelque chose d'évident, 3 plus le signe où il y a la 6. Petit 3, c'est juste le théorème de convergence monotone. Je viens de montrer en 1 que ma suite était croissante, en 2 qu'elle est majorée, la suite croissante majorée converge. Voilà, c'est très bien, c'est exactement ce qu'attend je pense le prof. Là il n'y a pas de grandes difficultés. J'ai envie de vous montrer juste comment faire ce truc, en limite les 3 questions d'un seul coup, en une ligne, en un calcul. Et en plus de ça vous gagnez la valeur de la limite. Donc, l'idée c'est de travailler sur l'expression. On va faire méthode 2. Travailler sur vn. On peut écrire vn égal. Je vais utiliser le fait que vn soit une division par n plus 1, et je vais faire apparaître n plus 1 au dessus. Ce que ça va me faire c'est 6 fois n plus 1, ça fait 6n plus 6. Malheureusement en haut je ne veux pas 6n plus 6, je veux 6n plus 3. Donc en fait je fais exprès de forcer l'expression 6 fois n plus 1 en haut, et puis derrière je compense. Vu que ça fait 6n plus 6 et que moi je veux 6n plus 3 en haut, j'écris un peu innocemment 6 fois n plus 1 moins 3. Donc vous pouvez vérifier, 6 fois n plus 1 c'est 6n plus 6 moins 3, ça fait bien 6n plus 3. Et l'idée c'est de forcer le n plus 1 pour pouvoir simplifier en séparant la fraction en deux. Je vais séparer la fraction ici. Donc il y a trois questions ici. Est-ce que la suite est croissante ou décroissante ? Ici quand on voit la suite écrite de cette manière, ce que je vois c'est que la suite en fait c'est une fonction de n si vous voulez. Comme fonction de n je pourrais écrire ça c'est f de n, une certaine f, mais qui est très simple à étudier. En fait si j'écris f de x c'est 6 moins 3 sur x plus 1, ça c'est une fonction hyperbole. Les fonctions hyperboles classiques elles sont décroissantes. Ici comme j'ai un signe moins je peux dire qu'elle est croissante. On pourrait dire or f avec un signe moins est croissante. Donc si f est croissante sur r, en tout cas sur r plus, dans ce cas on est bon, on peut dire que vn est croissante tout bêtement. Donc vn est croissante. Le fait qu'on ait une écriture comme ça, 6 moins 3 sur n plus 1, ça tout de suite qu'est-ce que je peux dire ? Je peux dire que 6 moins 3 sur n plus 1, 3 sur n plus 1 c'est positif, donc n c'est un entier. Je peux dire directement que ça c'est aussi plus ou il y a la 6. Ça me répond à la question 2. Donc j'ai bien ma réponse à la question 1 ici, ma réponse à la question 2 tout bête qui découle aussi de l'écriture simplifiée que j'ai mise. Et question 3, est-ce qu'elle converge ? Bah ouais, trop facile en fait, je connais la limite de 3 sur n plus 1. Ça c'est une limite classique. Ça, ça tend vers 0. Donc vn tend vers 6.

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