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Analyse

Limites de Suites

La suite vn est une suite définie par vn = 6n + 3 / n + 1. Pour étudier les variations de cette suite, on utilise le critère de croissance en calculant le ratio vn+1 / vn. On simplifie cette expression pour obtenir (2n² + 5n + 3) / (2n² + 5n + 2), qui est strictement supérieur à 1. Ainsi, on peut en déduire que la suite vn est croissante.

Ensuite, on souhaite montrer que cette suite est majorée. On fait la supposition vn + 1 = 6 et on démontre par équivalence que cela est vrai si et seulement si 3 + 1 = 6, ce qui est effectivement vérifié. Donc, on peut affirmer que vn est majorée par 6.

Enfin, on applique le théorème de convergence monotone qui stipule qu'une suite croissante et majorée converge. Ainsi, la suite vn converge vers une limite qui est 6.

Une autre méthode pour étudier les variations de la suite vn consiste à simplifier son expression en écrivant vn = 6n + 3 / n + 1. En effectuant des calculs, on fait apparaitre l'expression 6n + 6 en haut et on compense cela en écrivant innocemment 6(n + 1) - 3. En séparant la fraction, on obtient f(n) = 6 - 3 / (n + 1), qui est une fonction croissante. Ainsi, on peut conclure que la suite vn est également croissante.

De plus, en observant l'expression simplifiée de la suite vn, qui est 6 - 3 / (n + 1), on peut remarquer que lorsque n tend vers l'infini, le terme 3 / (n + 1) tend vers 0. Par conséquent, vn tend vers 6.

En résumé, la suite vn = 6n + 3 / (n + 1) est croissante et majorée par 6, ce qui implique qu'elle converge vers la limite 6.

Donc je vais commencer avec une première méthode, c'est-à-dire le truc un peu classique qu'on a dans nous. On vous donne une suite, vn égale 6n plus 3 sur n plus 1. Étudiez les variations, montrez qu'elle est majorée, en déduire qu'elle est convergente. Très classique, donc ce que je vais faire, on va commencer par les variations. Première remarque, on a une suite qui est sous la forme, quand on regarde ici là, qui est sous la forme d'une division, d'un quotient. Vu que c'est un quotient, je vais plutôt avoir tendance à me dire que je vais utiliser le critère de croissance qui est avec vn plus 1 divisé par vn, et voir si ce ratio est plus grand ou plus petit que 1. Donc c'est ce que je vais faire tout de suite. 1 sur vn j'inverse, donc j'écris n plus 1 sur 6n plus 3. Ça nous fait... Je peux factoriser par 3 en haut et en bas les deux 6n ici. Puis ça va s'arranger à peu près. Jusqu'à là c'est un peu laborieux mais on peut simplifier par 3 ici. L'idée c'est que si je développe complètement haut et en bas, je trouve 2n² plus... J'ai combien de n ici ? J'ai 2n, plus 3n ça fait 5n, plus 3. Et en bas, j'ai 2n² plus 5n également, plus 2. Donc je peux dire que ça c'est supérieur strict à 1. Tout simplement parce que le truc au-dessus est plus grand que le truc en dessous. Parfait. Donc ça va, on peut en déduire la suite vn est croissante strictement. Petit 2, ce qu'on peut faire c'est montrer qu'elle est majorée par 6. C'est tout de suite partir du résultat vn plus le tigre égal à 6. On pourrait dire qu'à partir de n, vn plus le tigre égal à 6. Si et seulement si, on fait un raisonnement par équivalence et on voit ce que ça donne. Donc si on fait un raisonnement par équivalence, on va essayer de voir si on n'arrive pas à la fin à quelque chose d'évident. 6n plus 3, ça va se faire 1 de 2, ça fait 6 et seulement 6. Si je veux vraiment insister, 6 et seulement 6, 3 plus le tigre est 6. Ce qui est vrai. Donc vn plus le tigre est 6. Comme ça c'est vrai, par équivalence ça c'est vrai, ça c'est vrai, ça c'est vrai aussi. Donc on dit, le truc que je veux, vn plus le tigre est 6, est équivalent à quelque chose d'évident, 3 plus le tigre est 6. Petit 3, c'est juste le théorème de convergence monotone. J'ai juste montré en 1 que ma suite était croissante, en 2 qu'elle est majorée. Une suite croissante majorée converge. Voilà, c'est très bien, c'est exactement ce qu'attend je pense le prof. Là il n'y a pas de grande difficulté. J'ai envie de vous montrer juste comment faire ce truc en, limite les 3 questions d'un seul coup, en une ligne. En un calcul, et en plus de ça vous gagnez la valeur de la limite. Donc, l'idée c'est de travailler sur l'expression. On va faire méthode 2. Travailler sur vn. On peut écrire vn égale. Je vais utiliser le fait que vn soit une division par n plus 1 et je vais faire apparaître n plus 1 au dessus. Ce que ça va me faire c'est 6 fois n plus 1, ça fait 6n plus 6. Malheureusement en haut je ne veux pas 6n plus 6, je veux 6n plus 3. Donc en fait je fais exprès de forcer l'expression 6 fois n plus 1 en haut, et puis derrière je compense. Vu que ça fait 6n plus 6 et que moi je veux 6n plus 3 en haut, j'écris un peu innocemment 6 fois n plus 1 moins 3. Donc vous pouvez vérifier si 6 fois n plus 1 c'est 6n plus 6 moins 3, ça fait bien 6n plus 3. Et l'idée c'est de forcer le n plus 1 pour pouvoir simplifier en séparant la fraction en deux. Je vais séparer la fraction ici. Donc il y a trois questions ici. Est-ce que la suite est croissante ou décroissante ? Ici quand on voit la suite écrite de cette manière, ce que je vois c'est que la suite en fait c'est une fonction de n si vous voulez. Comme fonction de n je pourrais écrire ça c'est f de n, une certaine f, mais qui est très simple à étudier. En fait si j'écris f de x c'est 6 moins 3 sur x plus 1, ça c'est une fonction hyperbole. Les fonctions hyperboles classiques elles sont décroissantes. Ici comme j'ai un signe moins, je peux dire qu'elle est croissante. On pourrait dire or f avec un signe moins est croissante. Donc si f est croissante sur r plus, dans ce cas on est bon, on peut dire que vn est croissante tout bêtement. Donc vn est croissante. Le fait qu'on ait une écriture comme ça, 6 moins 3 sur n plus 1, ça tout de suite qu'est-ce que je peux dire ? Je peux dire que 6 moins 3 sur n plus 1, 3 sur n plus 1 c'est positif, donc n c'est un entier. Je peux dire directement que ça c'est aussi plus ou moins égal à 6. Ça me répond à la question 2. Donc j'ai bien ma réponse à la question 1 ici, ma réponse à la question 2 tout bête qui découle aussi de l'écriture simplifiée que j'ai mise. Et question 3, est-ce qu'elle converge ? Ah ouais, trop facile en fait, je connais la limite de 3 sur n plus 1. Ça c'est une limite classique. Ça, ça tend vers 0, donc vn tend vers 6.

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