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Analyse

Limites de Suites

Le cours présente une méthode classique pour étudier les variations d'une suite et démontrer sa convergence. La suite en question est Vn = 6n + 3 / (n + 1). Pour déterminer les variations de la suite, on utilise le critère de croissance en comparant le ratio Vn+1/Vn à 1. On montre que ce ratio est supérieur à 1, ce qui signifie que la suite est strictement croissante. Ensuite, on démontre que la suite est majorée par 6 en montrant que Vn < 6 pour tout n. Enfin, on applique le théorème de convergence monotone pour conclure que la suite converge. On peut également utiliser une deuxième méthode pour étudier la suite en travaillant sur son expression. En utilisant des techniques de simplification, on obtient une expression équivalente de la suite et on montre ainsi qu'elle est croissante et bornée par 6. En utilisant les propriétés des limites, on conclut que la limite de la suite Vn est égale à 6.

Donc je vais commencer avec une première méthode, c'est-à-dire le truc un peu classique qu'on a dans le nom. On vous donne une suite Vn égale 6n plus 3 sur n plus 1. Étudiez les variations, montrez qu'elle est majorée, en déduire qu'elle est convergente. Très classique, donc ce que je vais faire, on va commencer par les variations. Première remarque, on a une suite qui est sous la forme, qu'on regarde ici là, qui est sous la forme d'une division, d'un quotient. Vu que c'est un quotient, je vais plutôt avoir tendance à me dire que je vais utiliser le critère de croissance qui est avec Vn plus 1 divisé par Vn, et voir si ce ratio est plus grand ou plus petit que 1. Donc c'est ce que je vais faire tout de suite. Donc j'écris fois 1 sur Vn j'inverse, donc j'écris n plus 1 sur 6n plus 3. Je peux factoriser par 3 en haut et en bas les deux 6n ici. J'écris 3 fois 2n plus 3 n plus 1. Jusqu'à là c'est un peu laborieux mais on peut simplifier par 3 ici. L'idée c'est que si je développe complètement en haut et en bas, je trouve 2n² plus, j'ai combien de n ici, j'ai 2n, plus 3n ça fait 5n, plus 3. Donc je peux dire que ça c'est supérieur strict à 1. Tout simplement parce que le truc au-dessus est plus grand que le truc en dessous. Parfait. Donc ça va et on peut en déduire la suite Vn est croissante strictement. Petit 2 ce qu'on peut faire c'est montrer qu'elle est majorée par 6, c'est tout de suite partir du résultat. Vn plus le tigre y a la 6, quelque soit n, Vn plus le tigre y a la 6, si et seulement si, on fait un résultat, enfin pas un résultat, un raisonnement par équivalence, et on voit ce que ça donne. Donc si on fait un raisonnement par équivalence, on va essayer de voir si on n'arrive pas à la fin à quelque chose d'évident. 6n plus 3, plus petit que 6 fois n plus 1 qui est 6n plus 6, si je veux vraiment insister, si et seulement si, 3 plus petit que 6, ce qui est vrai. Donc Vn est plus petit que 6, comme ça c'est vrai, par équivalence ça c'est vrai, ça c'est vrai, ça c'est vrai aussi. Donc on dit le truc que je veux, Vn plus petit que 6, est équivalent à quelque chose d'évident, 3 plus petit que 6. Donc Vn est borné par 6, majoré par 6. Petit 3 c'est juste le théorème de convergence monotone. Je viens de montrer en 1 que ma suite était croissante, en 2 qu'elle est majorée, la suite croissante majorée converge. J'ai envie de vous montrer juste comment faire ce truc en limite les 3 questions d'un seul coup, en une ligne, en un calcul, et en plus de ça vous gagnez la valeur de la limite. L'idée c'est de travailler sur l'expression. On va faire méthode 2, travailler sur Vn. On peut écrire Vn égal. Je vais utiliser le fait que Vn soit une division par n plus 1 et je vais faire apparaître n plus 1 au-dessus. Si je fais apparaître n plus 1 au-dessus, ce que ça va me faire, c'est 6 fois n plus 1, ça fait 6n plus 6. Malheureusement en haut je ne veux pas 6n plus 6, je veux 6n plus 3. Donc je fais exprès de forcer l'expression 6 fois n plus 1 en haut, et puis derrière je compense. Vu que ça fait 6n plus 6 et que moi je veux 6n plus 3 en haut, j'écris un peu innocemment 6 fois n plus 1 moins 3. Vous pouvez vérifier, 6 fois n plus 1 c'est 6n plus 6 moins 3, ça fait bien 6n plus 3. L'idée c'est de forcer le n plus 1 pour pouvoir simplifier en séparant la fraction en deux. Je vais séparer la fraction ici. Ça va me faire 6 moins 3 sur n plus 1. Il y a trois questions ici. Est-ce que la suite est croissante ou décroissante ? Ici quand on voit la suite écrite de cette manière, ce que je vois c'est que la suite c'est une fonction de n. Comme fonction de n je pourrais écrire ça c'est f de n, une certaine f, mais qui est très simple à étudier. En fait si j'écris f de x c'est 6 moins 3 sur x plus 1, ça c'est une fonction hyperbole. Les fonctions hyperboles classiques sont décroissantes. Ici comme j'ai un signe moins, je peux dire qu'elle est croissante. Avec un signe moins, elle est croissante. Donc si f est croissante sur r plus, dans ce cas on est bon. On peut dire que vn est croissante, tout bêtement. Donc vn est croissante. Le fait qu'on ait une écriture comme ça, 6 moins 3 sur n plus 1, ça tout de suite qu'est-ce que je peux dire ? Je peux dire que 6 moins 3 sur n plus 1, 3 sur n plus 1 c'est positif, donc n c'est un entier. Je peux dire directement que ça c'est aussi plus ou moins égal à 6. Ça me répond à la question 2. J'ai bien ma réponse à la question 1 ici, ma réponse à la question 2 tout bête qui découle aussi de l'écriture simplifiée que j'ai mis. Et question 3, est-ce qu'elle converge ? Ben ouais, trop facile en fait, je connais la limite de 3 sur n plus 1. Ça c'est une limite classique. Ça, ça tend vers 0. Donc vn tend vers 6.

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