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Applications avancées des suites

Les suites arithmético-géométriques sont un cas particulier des suites définies par récurrence, où la relation de récurrence est donnée par u(n+1) = f(u(n)), avec f(x) = x + b (une fonction affine). Si a ≠ 1, alors la seule limite possible pour u(n) est l = b / (1 - a). Pour déterminer si la suite converge, on introduit une suite auxiliaire v(n) = u(n) - l, qu'on étudie ensuite. La suite v(n) est géométrique de raison a, et converge si |a| < 1. Ainsi, la suite u(n) converge si |a| < 1. 

Dans une application pratique, on considère un carré de côté 1, qu'on partage en 9 carrés et on colorie uniquement le carré central. On répète ensuite le processus en coloriant le carré central de chaque carré restant, et ainsi de suite. La relation de récurrence associée à cette géométrie est donnée par u(n+1) = (8/9)u(n) + (1/9)(1 - u(n)), où u(n) représente la proportion de la surface coloriée. En simplifiant cette relation, on obtient u(n+1) = (8/9)u(n) + (1/9). Comme a = 8/9, qui est compris entre 0 et 1 strictement, la suite u(n) converge vers 1. Ainsi, à chaque étape, une plus grande partie du carré est coloriée, et finalement, après un nombre infini d'étapes, tout le carré sera colorié.

bonjour à tous alors parmi toutes les suites définies par récurrence avec une relation du type u n plus 1 égale f de u n, il y a les suites arithmético-géométriques, cas particulier, vous l'avez déjà vu normalement en terminale, en snoop c'est pas vraiment dans le cours mais franchement je vous conseille d'apprendre par coeur cette méthode, en tout cas de savoir bien la refaire parce que c'est un énorme classique et ça peut tomber à n'importe quel moment et c'est toujours bien de savoir bien maîtriser donc c'est parti. Alors comme je le disais les suites arithmético-géométriques c'est un cas particulier des suites définies par récurrence, ici ma suite u n elle est définie par une relation de récurrence u n plus 1 égale f de u n avec f de x égale a x plus b donc c'est une fonction affine. Donc on va traiter le cas a différent de 1 parce que si a égale 1 en fait c'est une suite arithmétique et vous savez le traiter donc voilà. La première question nous demande quelle peut-être la limite de la seule limite possible de u n donc on sait pas encore qu'elle converge mais si elle converge par passage à limite u n converge vers l, u n plus 1 converge vers l et donc j'ai l qui vérifie a l plus b et donc je me retrouve avec l égale b sur 1 moins a. J'ai le droit de dire ça puisque a est différent de 1. Donc l c'est le fameux point fixe de ma courbe cf évidemment en fait ça correspond à quoi ? Si je trace la fonction y égale x et en fait l'autre droite elle se coupe forcément à l'endroit si elles ne sont pas parallèles. Donc évidemment on sait quoi le cas où elles sont parallèles f de x égale x et g de x égale a x plus b c'est si a n'est pas égal à 1. Si les deux droites ne sont pas parallèles elles vont forcément se couper en un point donc j'ai forcément un point fixe. Donc l il existe et il est égal à b sur 1 moins a. Donc c'est si ça converge ça tend vers a mais ça veut pas dire que ça converge. Donc là justement on va regarder quand est-ce que ça converge. La technique c'est d'introduire la fameuse suite auxiliaire u v n égale u n moins l. C'est ça dont il faut vous souvenir c'est trouver quelle peut-être limite et ensuite on étudie u n moins cette limite. Pourquoi ? Parce que quand je fais v n égale u n moins l, l l'avantage c'est qu'il vaut b sur 1 moins a. Donc v n plus 1 si je dis cette suite v n plus 1 ça vaut u n plus 1 moins b sur 1 moins a et donc je remplace u n plus 1 par l'expression ça vaut a u n plus b moins b sur 1 moins a. Donc lui on se doute que ce a ça va être le q pour q fois v n. Nous on espère trouver que cette suite est géométrique donc a priori ça sera lui et donc là je remplace donc v n plus 1 je fais un peu de calcul donc ça fait a fois u n et ensuite tous les autres termes je mets au même dénominateur et ça fait 1 moins a fois b moins b sur 1 moins a. Ça se simplifie et magie que magie ça fait a fois u n moins b sur 1 moins a donc ça fait a fois v n. Donc finalement ma suite c'est ça tout l'intérêt de poser cette suite là, cette suite v n elle est géométrique de raison a et donc là vous avez l'habitude maintenant ça va être facile donc je vais pouvoir donner son expression et d'ailleurs on voit dans quel cas ça converge ou ça diverge. Comme c'est une suite géométrique c'est que si a il est supérieur à 1 valeur absolue, v n va tendre vers plus infini et donc u n aussi d'accord puisque c'est juste une différence de l entre les deux sauf si c'est un cas un peu particulier mais en maths c'est toujours important sauf si v 0 égale à 0 et donc v n malgré le fait que le a est supérieur à 1, v n sera tout le temps égal à 0 et donc u 0 égale à l et bon ça n'a pas vraiment d'intérêt mais bon ce cas existe. Maintenant si a est égal à moins 1 on a u n qui va aussi entre deux valeurs et donc u n aussi et si a est inférieur à 1 en valeur absolue j'ai v n qui tend vers 0 et donc u n qui va tendre vers l et le cas a égal à 1 est exclu par hypothèse. Donc en fait finalement on le retrouve, le cas qu'on voulait voir c'est quand est-ce que la suite u n converge, pas toujours, il faut que a soit plus petit que 1 strictement en valeur absolue. Donc maintenant on va faire une petite application donc dans l'application on nous dit, je reprends l'énoncé, on considère un carré de côté 1, on le partage en 9 carrés et on colorie que le carré central et donc ensuite on réitère le procédé donc grosso modo je prends mon carré je le coupe en 9 et je colorie celui du milieu et ensuite on va pour chaque carré qui reste on va faire la même chose et là je colorie celui du milieu là idem je colorie celui du milieu idem etc etc voilà et donc et ensuite on va encore recouper etc etc donc voilà le principe donc maintenant il faut trouver la relation de récurrence associée à cette géométrie là en fait qu'est ce qui se passe si on appelle u n la partie qui est coloriée qu'est ce qui se passe u n plus 1 c'est la partie d'avant parce qu'on ne décolorie pas tout ce qui est colorier reste colorier et ensuite sur ceux qui restent et ben on va colorier en fait 1 neuvième donc ce qui reste c'est quoi c'est 1-u n à l'étape n, c'est 1 qui est l'aire totale du carré moins ce qui était déjà colorié et ça on va encore colorier 1 neuvième de ça et donc voilà maintenant que j'ai mon expression mathématique je me lance dans les calculs je simplifie ça me fait u n plus 1 égale 8 neuvième de u n plus 1 neuvième je remarque que mon a en fait ça c'est mon a il est entre compris entre 0 et 1 strictement donc je sais que u n va converger vers l avec l je reprends mon expression de tout à l'heure ça fait 1 donc en fait finalement la conclusion c'est à force tout le carré va finir par colorier si je fais un nombre infini d'étapes donc voilà pour les suites arithmétiques ou géométriques c'est pas très compliqué faut juste connaître la méthode je trouve le point fixe l et ensuite j'ai du poser la suite v n égale u n moins l qui va être géométrique et c'est fini c'est juste ça donc retenez ça et ce sera très bien

Suite arithmético géométrique

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