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Analyse

Rappels sur les définitions de limites

Dans ce cours, nous étudions le calcul de la limite finie. Nous avons déjà examiné la notion de limite infinie et nous nous concentrons maintenant sur une limite spécifique fixée, utilisant la définition avec les épsilon.

Pour comprendre comment utiliser les épsilon, nous les utilisons pour montrer que la fonction tend vers moins l'infini, de manière similaire. Peu importe la limite fixée, aussi petite soit-elle, il y aura nécessairement un moment où la fonction sera inférieure dans une plage de valeurs négatives. En fait, lorsque je serai à une distance de épsilon proche de 1, je serai en dessous de cette limite. Donc, l'idée est que j'aurai un intervalle du type 1-épsilon1 où la fonction sera inférieure à M. J'ai donné quelques exemples avec la fonction 1/(x-1) pour illustrer cela.

La méthode est la même, nous partons de l'inégalité f(x) ≤ M et nous essayons de résoudre f(x) - M pour trouver l'encadrement de x qui nous permettra de déterminer le épsilon approprié.

Nous commençons avec un réel M négatif et regardons la limite en 1- pour x-1. Nous résolvons f(x) - M, ce qui donne 1/(x-1) - M. Nous examinons ensuite 1/(x-1) - M ≤ 0, et sachant que la fonction inverse est décroissante sur ℝ*, nous devons vérifier si nous sommes sur ℝ- ou ℝ+. Nous souhaitons encadrer x, nous devons donc avoir x > 1-1/M, en tenant compte du fait que 1/M est négatif. Ainsi, nous avons l'encadrement voulu : x < 1 et x > 1-1/M.

Maintenant, nous avons notre épsilon, qui est égal à 1-1/M. Si nous prenons épsilon de cette valeur, dans tout l'intervalle 1-épsilon à 1, notre fonction f(x) sera inférieure à M, ce qui correspond exactement à ce que nous voulions démontrer. 

Ainsi, nous avons démontré rigoureusement, en utilisant les calculs de limites, les définitions et les épsilon, que la limite lorsque x tend vers 1- (par valeurs négatives de 1/(x-1)) est égale à moins l'infini.

Il est important de s'exercer avec des exercices équivalents pour mieux comprendre la méthode. 

En résumé, pour utiliser cette méthode, nous partons de l'inégalité f(x) ≤ M et nous trouvons l'épsilon approprié en utilisant 1-1/x, en déroulant progressivement.

C'est tout pour cette méthode.

Maintenant on va faire le calcul de la limite finie, donc c'est l'autre définition formelle de la limite, on a regardé en plus l'infini, maintenant on regarde en un réel fixé, avec la définition, avec les epsilon. Donc déjà, il faut bien comprendre comment on utilise les epsilon, c'est pour montrer que la fonction tend vers moins l'infini, c'est un peu le même principe. On se dit, peu importe la limite que je me fixe, une hauteur aussi basse que je veux, il y a forcément un moment, par valeur négative, où je vais être en dessous. En fait une valeur proche, quand je serai epsilon proche de 1, je vais finir en dessous. Donc l'idée c'est que j'aurai un intervalle du type 1-epsilon1, où la fonction dans tout cet intervalle sera inférieure à M. Là je vous ai fait quelques exemples pour illustrer, avec la fonction 1 sur x-1. Imaginons que je fixe M là, mon intervalle epsilon c'est tout cela. Dès que je suis compris dans cet intervalle là, dans tout cet intervalle, entre 1 et 1-epsilon, ma fonction sera en dessous de M1. Si je prends M2 ici, l'intervalle sera plus petit, mon intervalle epsilon2, mais dans cet intervalle là, la fonction sera en dessous. Pareil si je prends M3 là, on commence à se rapprocher, mais si je prends M3 ici, toute la partie là sera en dessous, donc j'aurai toujours un intervalle. C'est ça l'idée qu'on va essayer de montrer. La méthode est exactement la même, on part de l'inégalité avec f2x, c'est à dire que j'essaye de résoudre f2x-M, et du coup j'aboutis un encadrement de x qui va me faire trouver le épisylone qui convient. C'est parti, je prends un réel M négatif, je vais regarder la limite en 1-, je regarde que pour x-1, et je vais résoudre. F2x-M, je remplace, ça fait 1 sur x-1-M, n'oublions pas que tout ça est inférieur à 0, comme ça je peux prendre l'inverse. La fonction inverse est décroissante sur Rétoile+, donc attention quand on prend l'inverse, il faut toujours vérifier qu'on est bien soit sur Rétoile-, soit sur Rétoile+. Mais si je suis entre les deux, si je ne suis pas de part et d'autre de 0, je ne sais pas quoi, je ne peux pas conclure, il faut bien être sur le bon intervalle. Du coup ce que je veux c'est encadrer x, donc x doit être supérieur à 1-1 sur M, alors attention, 1 sur M est négatif, on avait dit que M est négatif, donc finalement j'ai bien l'encadrement voulu, de tout à l'heure j'ai x qui est inférieur à 1 et qui est supérieur à 1-1 sur M, donc là mon épisylone il est tout trouvé, c'est lui mon épisylone, c'est du coup épisylone niveau 1-1 sur M, parce que attention encore une fois M est négatif. Donc voilà, si je prends épisylone égale ça, dans tout l'intervalle 1-épisylone 1, et bien j'ai ma fonction f de x qui est en dessous de M, donc c'est exactement ce que je voulais. Donc là j'ai démontré rigoureusement avec le calcul de limites, en revenant avec les définitions et l'épisylone, que la limite quand x est envers 1-1, donc par valeur négative de 1 sur x-1, c'est moins l'infini. Donc ça c'est pareil, il faut s'exercer un peu, faites les autres exercices équivalents, parce que c'est pas facile, mais finalement quand on s'exerce petit à petit on y arrive. Donc je récapitule, il faut partir de l'inégalité f de x inférieure à M, et je trouve l'épisylone qui convient avec 1-1 sur x, en déroulant petit à petit. Voilà pour cette méthode.

Calcul de limite finie avec la définition (trouver un epsilon)

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