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Analyse

Rappels sur les définitions de limites

Dans ce cours, nous étudions les limites en utilisant le taux d'accroissement et la dérivée. L'exercice consiste à trouver plusieurs limites en utilisant cette méthode. 
L'enseignant souligne que repérer les limites n'est pas toujours facile et nécessite de l'entraînement. Il suggère aux étudiants de poser des questions dans la section des commentaires si certains points ne sont pas clairs.

Dans le premier exemple, l'enseignant explique comment utiliser la dérivée pour trouver la limite d'une fonction donnée. Il rappelle la définition du taux d'accroissement et explique comment calculer la dérivée.

Le deuxième exemple traite d'une autre limite en utilisant la même méthode. L'enseignant montre comment choisir la fonction appropriée et calculer la dérivée.

Dans le troisième exemple, l'enseignant montre qu'il y a une erreur dans le problème initial. Il explique comment vérifier si la limite est indéterminée et comment rectifier l'erreur.

En conclusion, l'enseignant encourage les étudiants à s'entraîner davantage sur les exercices similaires et à poser des questions s'ils ont des difficultés.

Bonjour tout le monde, je vais corriger cet exercice sur les limites qui utilisent le taux d'accroissement et la dérivée. Il y en a un certain nombre dans l'exercice. Alors ça c'est pas évident à les repérer tout de suite, donc il faut pas mal s'exercer. Si certaines ne sont pas claires, si vous avez des questions, n'hésitez pas à faire un commentaire dans la FAQ à ce sujet. Le but c'est de se familiariser un peu avec les limites qui sont un peu compliquées en faisant intervenir la dérivée. Il y en a un certain nombre là-dedans, on va commencer tout de suite avec la première. L'énoncé est explicite, c'est l'utilisation de la dérivée, donc on sait qu'il va falloir l'utiliser. Je vois ça, je dis bon, dérivée, qui dit dérivée, avec des limites, je vais réécrire la limite du taux d'accroissement. Je vais revenir à la définition de ma dérivée. Là je refais un petit topo, le taux d'accroissement c'est quoi ? C'est quelque chose du type f de x plus 0 moins f de 0 sur x, et ça quand x tend vers 0, ça m'attende vers f prime de 0, si la dérivée est bien définie. Ou une autre façon d'écrire, de façon plus générale, c'est f de a plus x moins f de a sur x, avec ici a qui est égal à 0. Donc là qu'est ce que je vois ? Ma fonction, je veux... Alors on me la fait poser, je dis f de x égal à racine de 9 moins x, c'est l'énoncé qui me le suggère. Donc très bien, là je regarde f de x moins f de 0 sur x, ça tombe bien, c'est exactement ce que l'énoncé veut me faire calculer. Donc quand je prends la limite, quand x tend vers 0 de ça, c'est la limite du taux d'accroissement, et donc ça va tendre vers la dérivée. Voilà pourquoi on me demande en déduire, tout simplement. En déduire, ça fait plusieurs fois que je le redis dans chaque vidéo, c'est vraiment de la question précédente. Là je n'ai pas de question à me poser, je sais que ça vient d'ici, de la question a. Donc je reviens à la définition du taux d'accroissement, la limite quand x tend vers 0 de f de 0 plus x moins f de 0 sur x, c'est f prime de 0. Je vous ai remis un petit topo, mais évidemment il faut savoir par coeur la définition de la dérivée. Ce n'est pas parce qu'on utilise tout le temps des formules depuis maintenant plus d'un an qu'il faut oublier c'était quoi la définition. La définition de la dérivée, c'est la pente locale de ma fonction, et comment je trouve cette pente locale ? C'est en calculant le taux d'accroissement et en faisant tendre la limite vers 0. Donc très bien, là comme je sais que ça va faire f prime de 0, je n'ai plus qu'à calculer la dérivée. Je calcule la dérivée, alors attention, il y a des racines, il y a un quotient, elle n'est pas définie partout. Donc si je fais les choses rigoureusement, je vais quand même regarder où est-ce qu'elle est dérivable. En fait, elle n'est pas dérivable en 0, évidemment à cause du x, et elle n'est pas dérivable au-delà de 9, parce que ma racine ensuite ne sera pas définie. Donc voilà, ma fonction est dérivable sur moins l'infini 0, 0, 9, ouvert, et sur cet intervalle-là, j'ai fait le calcul de la dérivée. Donc là, la dérivée d'une racine, racine de u, c'est u prime sur 2 racines de u, je l'ai mis ici, et donc voilà, ce qui me permet d'aboutir à cette expression. Et donc maintenant, je n'ai plus qu'à calculer en 0, f prime de 0, je l'applique pour x égale 0, ça me fait moins 1 sixième. Donc j'en déduis que la limite, quand x tend vers 0, de racine de 9.x moins 3 sur x, ça fait moins 1 sixième. Ensuite, la question c, vous me demandez que rappelle la formule, j'ai déjà répondu à cette question, la formule c'est la limite du taux d'accroissement. Donc là j'ai fait un petit dessin, le taux d'accroissement c'est quoi ? En a, c'est quoi ? Je prends un point a, je prends un point qui est espacé de h, qui est de la forme a plus h, ou qu'on appelle x, alors là c'est mal fait, c'est pas divisé par x, c'est ou x, on peut poser ce nombre-là qui est égal à x. Donc je calcule f de a et f de a plus h, ou f de x, là l'idème c'est 1 plutôt qu'égal, donc mon taux d'accroissement c'est f de a plus h moins f de a sur a plus h moins a, ce qui me fait l'expression f de a plus h moins f de a sur a, et l'autre définition qu'il faut connaître quand même c'est, on ne pose pas de h, on fait f de x moins f de a sur x moins a, c'est la même chose, je pose tout simplement en posant x égale a plus h. Donc on va apprendre dans les deux cas, f prime de x sera la limite quand x tend vers a de f de x moins f de a sur x moins a, ou alors c'est strictement la même chose, c'est la limite quand h tend vers 0 de f de a plus h moins f de a sur h, donc les deux c'est la même chose, donc il faut connaître ces deux expressions. Je fais un petit topo quand même sur l'autre méthode, alors l'énoncé nous demandait explicitement d'utiliser la dérivée, mais en réalité moi quand je vois cette limite là, la première chose que j'ai envie de faire, parce que c'est quand même un peu astucieux de poser cette fonction là, c'est pas évident tout de suite de voir que c'est un taux d'encroissement, par contre pour lever l'indétermination, la technique quand il y a des racines c'est d'utiliser la quantité conjuguée. Donc déjà première chose qu'on doit toujours faire quand on fait un calcul de limite, regardons si, je ne l'ai pas fait au début mais j'aurais dû le faire, est-ce que c'est vraiment une forme indéterminée ? Quand x tend vers 0 ça fait racine de 9, donc c'est 3, 3-3 c'est 0, et x0 c'est 0 sur 0, c'est bien déterminé donc je suis coincé. Donc là qu'est-ce que j'ai envie de faire, je vais multiplier par la quantité conjuguée, je vais utiliser la formule a plus b pour a moins b, ça fait a carré moins b carré, comme ça je vais faire sauter ma racine, ma racine va passer au carré. Donc très bien, je multiplie en haut et en bas, évidemment pour que ce soit toujours la même quantité, par a plus b, ou ici a c'est racine de 9 moins x, et b c'est 3. Donc je multiplie en haut et en bas, numérateur et dénominateur, et donc en haut ça me fait a carré moins b carré, c'est-à-dire 9 moins x moins 3 carré qui vaut 9, donc ça simplifie, il ne me reste que moins x, et en bas je laisse mon x en facteur, et ça me fait facteur de racine de 9 moins x plus 3. Les x se simplifient, et donc il me reste moins 1 sur racine de 9 moins x plus 3. Pourquoi là j'ai résolu le problème ? Parce que le souci c'était le moins, j'avais racine de 9 moins x moins 3. Là en multipliant par la quantité conjugée, je sais que je vais lever l'indétermination, parce que je vais avoir un plus au final. Donc ce plus ne va pas me poser de problème, je sais que ça ne va pas atteindre 0. Donc ça fait racine de 9 moins x qui tend vers 3 plus 3, ça fait moins 1 sixième. Je retrouve bien le même résultat que ce que j'avais avec la méthode avec la dérivée. Vous pouvez faire les deux méthodes, là en l'occurrence je vous l'ai montré, le sujet était assez explicite en utilisant la dérivée, donc pour cet exercice on doit faire la première méthode, dans d'autres exercices on peut très bien utiliser celle-là. Maintenant passons à la deuxième. En utilisant le même raisonnement, donc là ça va être le même genre de calcul, cette fois on nous demande de trouver la limite de racine de 2x moins 1 sur x. Utiliser le même raisonnement, c'est assez explicite, très bien. Alors là je prends mon taux d'accroissement, cette fois on ne me dit pas quelle fonction poser, c'est un peu plus compliqué quand même. Moi je sais que ça va être de la forme f2x plus a moins f2a, ou f2a plus h moins f2a, c'est pareil. Je me dis, lui ça doit être f2x plus a, lui ça doit être f2a. Je suis assez tenté de poser f2x égale racine de 2x. Pourquoi ? Parce que je vois que si je prends a, c'est là où ce n'est pas évident, il faut trouver le bon a, je vois que pour que f2a soit face 1, ma seule solution c'est que a soit égale à 1,5. Et f2x plus a, dans ce cas là, ça fait racine de 2 fois x plus 1,5, donc ça fait racine de 2x plus 1, ça marche. Là il faut avoir un peu d'intuition, ce n'est pas évident pour le coup de poser cette fonction là. C'est celle là qui fonctionne. Là c'est bon, je suis dans les clous pour pouvoir faire mon calcul. Racine de 2x plus 1 moins 1 sur x, finalement c'est f de x plus 1,5 moins f de 1,5 sur x, avec du coup a qui est égale à 1,5, et ça quand x tend vers 0, ça tend vers f prime de 1,5, si je reviens à la définition de la dérivée avec le taux d'accroissement. Or f, telle qu'elle est là, elle est bien dérivable sur R étoile plus, donc je fais le calcul de la dérivée, et je me retrouve avec la dérivée qui est égale à 1 sur racine de 2x plus 1. Et ça en 0, d'ailleurs j'ai mis une limite, mais en fait c'est pas seulement une limite, c'est f prime de 0 est égale à 1. Donc finalement ma limite racine de 2x plus 1 moins 1 sur x, ça tend quand x tend vers 0 vers 1. Deuxième exemple. Celui là je l'ai laissé tel quel, c'est pour vous montrer, des fois il peut y avoir des erreurs dénoncées. Donc là je fais la première technique d'abord de regarder est-ce que la limite est indéterminée au premier abord ou pas. Quand x tend vers 1, alors attention il y a une difficulté supplémentaire, c'est que là ça tend pas vers 0, x tend bien vers 1. Donc il faut faire attention à ça. E de x moins 1 moins E de 1 sur x moins 1. Donc x moins 1 ça tend vers 0 quand x tend vers 1. E de x moins 1 quand x tend vers 1 ça fait E de 0. E de 0 moins E de 1, c'est négatif. En fait il n'y a pas de problème, si je fais quelque chose de négatif divisé par 0, selon si ça tend vers 1 moins ou en plus, je vais me retrouver avec une limite qui est égale à plus de l'infini ou moins de l'infini. Donc en fait c'est là où on voit qu'il y a une erreur, elle était trop simple cette limite. Donc là je reviens quand même dans un premier temps sur la dérivée avec le taux d'accroissement. f prime de a c'est la limite quand x tend vers a de f de x moins f de a sur x moins a. C'est la deuxième définition que j'ai donnée tout à l'heure, donc vous connaître les deux pour pouvoir jongler avec. Donc là en fait ce que je disais c'est que E de x moins 1 ça tend vers E de 0, x moins 1 tend vers 0, E de 0 moins E de 1 c'est négatif. Donc en fait ma limite elle est très simple, c'est plus l'infini en 1 moins et moins l'infini en 1 plus. Donc c'est de la forme une constante, évidemment on ne peut pas l'écrire comme ça, mais c'est une constante divisée par 0, 0 plus ou 0 moins, il faut faire attention, donc ça fait plus ou moins l'infini. Donc là clairement il y a une erreur d'annoncée, parce que la limite elle est très simple à calculer. Donc ça c'est sûr. Donc la petite astuce quand même, vérifier dans un premier temps, ça dépend des annoncées, c'est important de partir tête baissée et d'essayer de trouver les quantités conjuguées, les dérivées, parce que parfois la forme n'est pas indéterminée. Donc pas de problème. Donc moi je rectifie l'annoncée, parce qu'il y avait une erreur, en fait ce n'est pas E2X moins 1 ici, c'est E2X. Donc là pour le coup ça va bien être une dérivée, et là il y a bien une forme indéterminée, parce que ça va tendre vers 0 quand X tend vers 1, et ça j'ai X tend vers 1, et il me manque le moins 1. J'ai oublié les moins 1 partout. Ok, c'est pas grave. Donc là c'est bien de la forme F2X moins F2A sur X moins A, et donc c'est bien un taux d'accroissement, et donc je vais prendre la limite quand X tend vers 1. Quand X tend vers 1, la limite de ce taux d'accroissement, ça va tendre vers F prime de 1, qui vaut E de 1, parce que la dérivée de l'exponentielle C elle-même, donc ça va me faire E. Donc en fait cette expression là, elle tend vers E. Donc voilà pour ces exercices, c'est pas facile de tout de suite les voir. Je vous conseille de vous entraîner sur l'EQSEM que vous avez à disposition, pour pouvoir s'entraîner à repérer ces calculs de limites pas évidents en utilisant la dérivée, dans le cas où c'est toujours compliqué, vous pouvez très bien me faire des commentaires dans la FAQ s'il y a des choses toujours pas claires. Voilà pour la correction de cet exercice.

Utilisation de la dérivée

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