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Analyse

Dérivée seconde et convexité

Ce cours aborde les fonctions classiques en mathématiques. Il explique que les fonctions racine et logarithme sont concaves, ce qui signifie qu'elles ressemblent à un sourire dans leur représentation graphique. En revanche, la fonction 1/x est convexe sur R+ et concave sur R-. Une petite règle intuitive est également donnée : les fonctions x puissance alpha, avec alpha entre 0 et 1, sont concaves (comme les racines), tandis que les fonctions x puissance alpha avec alpha supérieur à 1 sont convexes. La fonction y=x est à la fois convexe et concave car elle est une droite. Enfin, quelques exemples de tracés de fonctions sont donnés pour illustrer ces propriétés. Cela concerne des fonctions du type x puissance alpha, avec alpha allant de 0 à 2. On peut voir que les fonctions avec alpha entre 0 et 1 sont concaves, tandis que pour alpha supérieur à 1, elles sont convexes.

Une petite vidéo assez rapide pour vous donner un peu de culture G sur les fonctions classiques que vous connaissez déjà alors ici on a quelques fonctions très classiques donc la fonction racine la fonction log ces deux fonctions sont concaves donc ça va ressembler un peu au graph que j'ai utilisé dans dans la vidéo précédente alors je vais vous montrer tout de suite à quoi ça ressemblait voilà on avait une fonction type log par exemple ici c'était l'exemple de la fonction qui était concave et la racine sera un peu du même style c'est très bien de la même manière on pourra dire donc avec le moyen mnémotechnique très simple un peu simple et que j'ai donné avant que x carré et exponentielle x sont des fonctions convexes en effet leur courbe a l'air de sourire si ça a l'air de sourire c'est qu'en général c'est convex donc ça il faut connaître par coeur ces courbes là la fonction 1 sur x quant à elle est convexe sur r plus étoile elle ne sera pas convexe sur r moins étoile là elle sera concave donc ça faut la tracer pour vérifier un petit bonus légèrement hors programme si on prend on va rester sur r plus donc sur la partie droite du graphique une règle un peu qui est possible de retenir même si elle est un peu hors programme encore une fois si on prend un alpha positif et on va considérer les fonctions x puissance alpha pour alpha entre 0 et 1 donc alpha entre 0 et 1 ça va être par exemple alpha égal 1 demi et x puissance alpha ça sera x puissance 1 demi c'est une autre écriture de la racine racine de x donc quand alpha est plus petit que 1 mais toujours positif on parle donc des racines cubiques les racines carrées toutes les racines cinquième ce que vous voulez toutes ces fonctions là vont ressembler à la racine carrée et elles vont être concaves sur r plus par contre toutes les fonctions x puissance alpha avec alpha plus grand que 1 genre x carré x 3 etc sur r plus uniquement vont être convexes si je vais dans le détail vraiment que vous pouvez vérifier en traçant des fonctions sur r moins ça va dépendre x2 va être convex tout le temps r moins r plus x3 va être concave puis convex et en fait il y aura une règle selon si on a un nombre paire en puissance les x2 x4 x6 d'un côté et les x3 x5 etc de l'autre là je vais un peu loin donc pour ceux que ça intéresse vous pouvez retenir cette règle sur r plus les puissances plus petites que 1 donc les racines sont toujours concaves les puissances supérieures strictes à 1 sont toujours convexes et égal à 1 c'est la fonction y égal à x c'est la droite c'est la droite on peut dire qu'elle est à la fois convexe et concave parce que toute droite est à la fois en dessous et au dessus de ces séquences vu que les séquences sont la droite elle-même et si on va juste illustrer un petit peu ce cet exemple là de puissance alpha alors ce que je vous ai fait c'est que je vais vous tracer des x puissance alpha avec alpha qui va de 0 1 à 2 donc si je prends alpha et que il y a le 0 1 j'ai ça je pourrais zoomer et voir qu'en fait là ça plonge à 0 c'est une espèce de racine 0 1 c'est 1 dixième donc c'est x puissance 1 dixième c'est genre la racine dixième bon 0 2 toujours concave 0 3 0 4 0 5 0 6 0 5 c'est la racine classique c'est alpha égal à 1 demi 0 6 0 7 0 8 0 9 on approche dangereusement c'est encore une racine ici c'est un petit peu courbé de la droite pure pouf pour alpha égal à 1 voilà là c'est le cas qui est convex et concave c'est une droite et si j'augmente un peu 1,1 1,2 1,3 je suis passé du côté convex jusqu'à x carré je me suis arrêté à 2 ça c'est x carré convex donc on a toute une partie convex on arrive à la droite qui sépare les deux cas et les concaves c'est ça que je voulais illustrer je me dis que c'est pas très compliqué à retenir c'est vrai que c'est pas la formule du programme mais elle est pas mal sur ce je vous laisse c'était tout pour cette vidéo assez courte au final sur les fonctions classiques et posez moi des questions dans le forum bien sûr si vous en avez sinon je vous retrouve dans la prochaine vidéo bye bye Sous-titres réalisés para la communauté d'Amara.org

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