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Les équations différentielles d’ordre 2

Bonjour à tous ! Aujourd'hui, nous allons résoudre une équation différentielle en utilisant un changement d'inconnu. L'équation que nous cherchons à résoudre est x carré y prime prime - 3x y prime + 4y = 0.

Tout d'abord, analysons cette équation. Les dérivées de y sont élevées à l'ordre 1, ce qui signifie que cette équation est une combinaison linéaire des dérivées de y. Cependant, cette équation est d'ordre 2 et les coefficients ne sont pas constants, ce qui ne correspond pas exactement au cadre du cours. Mais ne vous inquiétez pas, nous allons tout de même résoudre cette équation en utilisant une méthode qui nous sera fournie.

Nous posons z(t) = y(exp(t)). En calculant les dérivées de z, nous obtenons z prime(t) = exp(t) y prime(exp(t)) et z seconde(t) = exp(t) y prime(exp(t)) + exp(t) y prime(exp(t)). 

En réinjectant cela dans l'équation E, nous obtenons z prime prime(t) - 4z prime(t) + 4z(t) = 0. Cette équation est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants. Nous avons maintenant toutes les indications nécessaires pour résoudre cette équation.

La méthode classique consiste à trouver d'abord la solution homogène de l'équation, pour laquelle nous devons poser l'équation caractéristique. Le discriminant de cette équation étant nul et sa racine étant double, la forme générale de la solution homogène est z_h(t) = (lambda t + mu)exp(t), où lambda et mu sont des réels.

Nous pouvons donc en conclure que l'ensemble des solutions de l'équation d'origine est l'ensemble des fonctions z(t) = (lambda t + mu)exp(t) avec lambda et mu réels.

Afin de vérifier que les solutions trouvées sont bien des solutions de l'équation d'origine, nous devons calculer les dérivées de y et vérifier si elles satisfont l'équation. Après les calculs, nous constatons effectivement que tout se simplifie et que cela équivaut à 0. Par conséquent, toutes les solutions de la forme lambda ln(x) + mu x^2 sont également des solutions de l'équation.

En conclusion, les solutions de l'équation sont les fonctions lambda ln(x) + mu x^2 avec lambda et mu réels. Nous avons utilisé une méthode d'analyse synthèse pour arriver à cette conclusion. Cela nous a permis de montrer que les solutions trouvées sont les seules solutions de l'équation.

J'espère que vous avez compris ce cours sur la résolution d'équations différentielles via un changement d'inconnu. N'hésitez pas à me poser vos questions si besoin. À bientôt !

Bonjour à tous c'est Mathis de studio et aujourd'hui on va résoudre une équation différentielle via un changement d'inconnu. Alors on cherche à résoudre sur r plus étoile l'équation différentielle suivante x carré y prime prime moins 3 x y prime plus 4 y est égale à 0 c'est l'équation E. Alors cette équation est-ce qu'elle est linéaire et qu'est ce qui change par rapport au cours ? Alors c'est parti pour analyser cette équation et bien les dérivés de y en fait elles sont élevées à l'ordre 1 donc cette équation c'est simplement une combinaison linéaire des dérivés de y puisqu'ici on peut se dire ah oui mais x ça peut être un paramètre d'inconnu peu importe c'est un réel donc il s'agit bien d'une combinaison linéaire de dérivés de y. Ok maintenant on se sent un peu gêné vu que c'est pas exactement le cadre du cours en fait qu'est-ce qui change ? C'est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 mais qui n'est pas à coefficient constant. Or le cadre du cours c'est coefficient constant toute la méthode avec l'équation caractéristique. Donc nous n'avons pas de solution ou de méthode analytique issue du cours. Bon c'est très souvent le cas dans l'exercice en col ou en cours il faut pas se stresser avec ça puisqu'en fait on va nous fournir une méthode qu'on a simplement à appliquer. Alors justement c'est parti on pose une analyse soit y une solution de e sur r plus étoile pour t appartenant à r on pose z de t qui est égal à y de exponentielle t. Ok première question calculer pour t appartenant à r z prime et z seconde et bien ça on va simplement se procéder par composition déjà par théorème généraux c'est le mot clé à sortir pour avoir des points et bien z elle est deux fois dérivable et z prime de t on dérive une composée donc c'est la dérivée à l'intérieur exponentielle t y prime exponentielle t et pour la dérivée seconde et bien on se retrouve avec un produit et encore une fois une composition donc finalement on obtient exponentielle t y prime exponentielle t plus exponentielle de t y prime exponentielle t. Ok maintenant question b en déduire que z vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre de a coefficient constant que l'on précisera et on pourra poser x qui est égal à exponentielle t dans e. Ok alors à partir de là e si l'on réinjecte à ce moment là dans e on fait apparaître x comme étant exponentielle t et donc on obtient cette équation exponentielle de t y prime prime exponentielle t moins trois exponentielle t y prime exponentielle t plus 4 y exponentielle t est égal à 0 et donc ça ça simplifie comment d'après ce qu'on a obtenu juste au dessus et bien exponentielle de t y prime prime on le retrouve ici donc on a simplement ce terme à faire passer de l'autre côté et en fait on se retrouve on se rend compte que c'est z prime donc on obtient bien cette expression et le reste c'est simplement de l'identification donc au final nous obtenons l'équation différentielle qui est vérifiée par z qui est z prime prime de t moins 4 z prime de t plus 4 z de t est égal à 0 et ça tombe bien car c'est une équation différentielle linéaire d'ordre de a coefficient constant donc on se dit qu'à partir de là on a toute la méthode à appliquer pour résoudre cette équation. Ok justement question c résoudre l'équation différentielle on a trouvé la question précédente c'est parti alors c'est la méthode classique on cherche tout d'abord la solution homogène de l'équation différentielle donc pour ça il faut poser l'équation caractéristique qui est juste ici son discriminant est 0 et sa racine double est 2 ok donc à partir de là la forme de la solution générale c'est z h qui a t associé lambda t plus mu exponentielle de t à la solution générale de lambda et mu appartenant à r et donc vu que l'équation est déjà homogène on peut en conclure directement que l'ensemble des solutions de e prime c'est l'ensemble des fonctions qui a t associé lambda t plus mu exponentielle de t lambda et mu appartenant à r. Très bien alors qu'est ce qu'on fait de ça troisième question vérifier que réciproquement les fonctions trouvées à la fin de l'analyse sont bien toutes des solutions de e et conclure alors on demande alors de faire un chemin inverse pour voir si à partir de là en termes de synthèse et vérifier que les solutions qu'on va trouver dans l'analyse sont effectivement solutions de l'équation que l'on considère alors pour basculer on pose z de t qui est égal à lambda t plus mu exponentielle de t et donc y de x en faisant le changement d'inconnu on a fait c'est lambda ln de x plus mu facteur de x carré ok donc à ce moment là on va réinjecter pour calculer maintenant on doit vérifier si pour tout lambda et mu appartenant à r y qui a x associé lambda x plus mu x carré et solution de e et bien pour ça il faut calculer y prime et y seconde et se lancer dans le calcul de x carré y prime prime de x moins 3 x y prime de x plus 4 y de x et donc je vous épargne les calculs vous pouvez les faire chez vous et bien on se rend compte effectivement que tout se simplifie et que c'est bien égal à 0 donc toutes les solutions de cette forme sont effectivement solution de l'équation alors qu'est ce qu'on dit qu'est ce qu'on peut dire par conclusion bien les solutions de e sont par analyse synthèse l'ensemble des solutions qui est les fonctions qui a x associé lambda ln de x plus mu le tout facteur de x carré lambda et mu appartenant à r alors j'aimerais juste revenir à la fin d'exercice sur ce raisonnement une analyse synthèse qui est pas simple à saisir donc qu'est ce qu'on a fait concrètement alors on a dit si y était solution de e alors à ce moment là les solutions la forme des solutions de z c'était celle ci celle qu'on a trouvé les solutions qu'on a trouvé question c'est et maintenant on pose autre chose c'est si l'on part des solutions que l'on a trouvé et bien elles sont effectivement solutions donc par analyse synthèse c'est les seules solutions de l'équation sont celles ci en effet s'il ya des solutions elles sont de ces formes là et si elles sont de ces formes là et bien elles sont solutions donc à ce moment là on peut directement affirmer que l'ensemble des solutions et celui ci je voudrais revenir aussi sur le terme que j'ai mis ici deux degrés de liberté en fait on a trouvé ici un ensemble de solutions oui juste ici on a trouvé un ensemble de solutions de l'équation il y avait combien de degrés de liberté sur les sur les paramètres les réels en question et bien il y en avait un et deux donc en soit on aurait pu simplement conclure à partir en montrant que y de cette forme là avec lambda et mu réel et solution de l'équation comme on aurait atteint les deux degrés de liberté nécessaire à définir l'ensemble des solutions on sait que c'est dans le cours l'ensemble des solutions de cette équation et de dimension 2 et bien à ce moment là on pouvait en déduire l'égalité nécessaire or ici on a fait quand même un rayonnement par alie synthèse qui est bien plus beau et qui est nécessaire à bien maîtriser pour affronter l'école et les concours et à partir de là on se retrouve sur des méthodologies soit à appliquer puisqu'on ça correspond pas exactement au cours soit des questions de base à ce moment là on déroule ce qu'on sait faire merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et puis je vous dis à bientôt

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