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Lien avec les Primitives

Ce cours traite des propriétés des fonctions et de leurs intégrales. La première propriété explique que si une fonction est nulle, son intégrale sera également nulle. Cependant, il est important de noter qu'une fonction dont l'intégrale est nulle sur un intervalle donné n'est pas forcément nulle elle-même. Un contre-exemple est donné pour illustrer ce point.

Ensuite, une propriété bonus est présentée : si une fonction est paire, c'est-à-dire que pour tout x, f(-x) est égal à f(x), alors l'intégrale sur un intervalle symétrique centré sur 0 sera deux fois l'intégrale sur la moitié de cet intervalle. À l'inverse, si une fonction est impaire, c'est-à-dire que pour tout x, f(-x) est égal à -f(x), alors l'intégrale sur un intervalle symétrique centré sur 0 sera nulle.

La dernière propriété bonus concerne les fonctions périodiques. Si une fonction a une période T, alors pour tout x, f(x+T) sera égal à f(x). De plus, l'intégrale sur un intervalle de longueur T sera égale à l'intégrale sur un intervalle de taille T centré sur 0.

Ces propriétés sont utiles pour gagner du temps dans l'étude des fonctions et leurs intégrales. Il est donc important de les comprendre et de les utiliser correctement. Le cours se termine en invitant les spectateurs à regarder la prochaine vidéo pour plus d'informations.

Petite vidéo bonus avec des propriétés sur lesquelles il est facile de faire des erreurs ou des propriétés qui sont très très pratiques en exercice. Donc commençons. La première propriété, si f est la fonction nulle, alors la fonction nulle c'est la fonction plate, la fonction qui est égale à l'axe OX en fait si vous voulez, c'est la même chose, alors son R est complètement nul. En effet elle est complètement écrasée, il n'y a aucune différence entre la fonction f et l'axe OX, donc intégrale nulle. Mais ce n'est pas pour autant qu'une fonction dont l'intégrale est nulle sur un intervalle AB est la fonction nulle. Contre-exemple, si je prends cette fonction par exemple, déjà visuellement, je vois que ce n'est pas la fonction nulle, elle est tracée là en noir, ce n'est pas du tout la fonction nulle, et je comprends que son R par exemple entre moins 2 et 2 est égale à 0. Pourquoi ? Parce que d'un côté j'ai une R négative qui compense parfaitement l'R positif de l'autre côté. Donc voilà, c'est évident quand on le voit mais c'est bien de ne pas se tromper parce que ce n'est pas impossible un peu rapidement dans un QCM ou je ne sais quoi de se dire Intégrale entre AB est égale à 0, F est égale à 0. Donc là en fait c'est un exemple que j'ai pris parce que je sais que la fonction cube est impaire donc c'est facile à calculer. Ce qui me fait une transition parfaite pour une propriété un peu bonus. Si j'ai une fonction paire, c'est-à-dire une fonction qui vérifie quel que soit X, F de moins X est égale à F de X. Donc par exemple cette parabole ici, ce genre de X2 ici, d'ailleurs c'est X2, c'est X² ici. Une fonction paire, je vais avoir que l'intégrale sur un intervalle symétrique centré sur 0, c'est-à-dire l'intégrale entre moins A et A, ce qu'on appelle symétrique c'est qu'on part de A d'un côté négatif et on part jusqu'à A du côté positif ici. L'intégrale, je vois que c'est cette R là plus cette R-ci, c'est égale à deux fois l'R entre 0 et A. Bah oui, parce que c'est deux fois la même mais au-dessus. Alors que pour une fonction impaire, c'est-à-dire le cas ici, genre un X3 par exemple, F de moins X est égale à moins F de X, pour toute X, c'est la définition d'une fonction impaire. Sur un intervalle symétrique centré sur 0 cette fois, l'intégrale va être égale à 0. En effet, le bout côté moins A 0 va être négatif et compenser parfaitement le côté 0 A qui lui va être positif. Quand les deux ici sont les mêmes, on les additionne, ici les deux se compensent, ça fait 0. Dernière petite propriété bonus, pour une fonction périodique de période T, par exemple 2 Pi pour le sinus, j'ai toujours F de X plus grand T égal à F de X pour toute X. Alors, l'intégrale sur tout intervalle de taille grand T va être la même. C'est-à-dire que je prends un A quelconque, l'intégrale entre A et A plus T va être toujours égale à l'intégrale entre 0 et grand T. Vous pouvez le voir sur un dessin, vous imaginez le sinus, la compensation d'air entre les valeurs au-dessus et les valeurs en dessous de l'axe aux X vont être les mêmes si vous décalez et vous gardez toujours un intervalle de taille de Pi, de taille grand T. C'est important de le savoir, c'est un peu le même niveau que quand vous faites les études de fonctions, si vous repérez que c'est paire ou impaire par exemple, en premier ou même stané, en terminale, vous gagnez la moitié du temps, parce que vous vous dites on étudie maintenant, vu qu'elle est paire, la fonction sur R+, et on verra pour R- en faisant juste une symétrie. Là c'est un peu pareil, vous pouvez gagner du temps grâce à ces diverses propriétés. J'espère que ça vous a un peu clarifié, c'était du bonus, je vous retrouve dans la vidéo suivante. Au revoir.

Propriétés 2 : remarques pratiques

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