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Analyse

Lien avec les Primitives

Dans cette vidéo, on démontre le théorème fondamental de l'analyse. On considère une fonction continue f sur l'intervalle [a,b] et on définit une autre fonction F comme l'intégrale de f entre a et x. On montre que F est dérivable et que sa dérivée est égale à f. On utilise la propriété de Schall pour montrer que l'erreur entre F(x+h)-F(x) et l'intégrale de f entre x et x+h est négligeable comparée à la hauteur de f(x+h). On utilise ensuite le théorème d'encadrement pour montrer que la limite du taux d'accroissement (F(x+h)-F(x))/h est égale à f(x). On conclut ainsi que F est dérivable avec pour dérivée f. En conséquence, toute fonction continue sur un intervalle a une primitive sur cet intervalle.

Dans cette vidéo, je vais vous démontrer le théorème fondamental de l'analyse qu'on a pu voir intuitivement dans une vidéo précédente. Alors, je le recite ici, théorème fondamental, soit f, une fonction continue sur a, b, positive, c'est plus facile pour la démonstration. On définit la fonction F comme l'intégrale entre a, le bord de l'intervalle, et x, un point quelconque de a, b, de la fonction f. Cette fonction F, définie telle que F de x égale cette intégrale. Cette fonction F est dérivable, premièrement, et elle a pour dérivé f. Petite remarque qui va être très utile dans la démonstration, F de a, c'est quoi ? C'est l'intégrale, donc je remplace le petit x, y, vu qu'ici, je veux dire, on a petit x, petit x, donc petit F de a, c'est l'intégrale entre a et a. Mais l'intégrale entre a et a, alors peut-être qu'on le verra dans une vidéo de propriété, mais je vous le dis maintenant, l'intégrale entre a et a, c'est l'intégrale pour un rectangle de largeur 0, en fait. C'est-à-dire qu'on a un rectangle infiniment fin, donc l'intégrale entre a et a d'une fonction, c'est 0. Il n'y a pas d'r là, il n'y a que dalle. Donc je vous le dis ici, on en aura besoin dans la démonstration. Conséquence de ce théorème, toute fonction qui est continue sur un intervalle de r aura des primitifs sur cet intervalle. Bah oui, parce qu'on a dit que pour une fonction continue quelconque, on en avait au moins une, donc forcément, il y en aura plein. Je vais vous montrer maintenant la démonstration directement. Alors, je vous ai écrit le théorème là-haut à nouveau. Donc on a le théorème ici, on va montrer qu'elle est dérivable, etc. Soit x appartient à un petit a, b, on va prendre un x quelconque. Ce qu'on veut montrer, c'est que la fonction est dérivable au point petit x. Donc définissant la dérivabilité, il faut étudier la limite du taux d'accroissement. Si le taux d'accroissement de la fonction admet une limite finie, alors la fonction sera dérivable. Donc pour petit h positif, on définit le taux d'accroissement suivant. On veut montrer donc que limite quand h est envers 0 de f de x plus h moins f de x sur h égale petit f de x. Oui, parce qu'on veut que non seulement elle soit dérivable, qu'on ait donc une limite finie, mais on veut que cette limite finie soit pas n'importe quoi, on veut que ce soit petit f de x. Donc, ce qu'on va commencer à faire, c'est s'intéresser à la chose la plus compliquée de cette expression, c'est-à-dire grand f de x plus h moins f de x. On va essayer d'exprimer ça de manière à avancer dans le calcul. Donc, grand f de x plus h moins grand f de x. Je prends la définition de grand f qui est là-haut et je l'applique à grand f de x plus h, donc c'est l'intégrale entre a et x plus h de f de t dt, et à grand f de x lui-même qui est l'intégrale entre a et x. Je vais utiliser quelques petites propriétés sur les intégrales. Moins l'intégrale entre a et x, c'est égal à plus l'intégrale entre x et a. Il y a un rapport de taille moins 1 entre l'intégrale entre a et b et l'intégrale entre b et a. Si on la regarde dans un sens dans l'intervalle ou dans l'autre sens, on met un signe moins. C'est la première chose que je vais faire ici. Je remplace et je dis, vous verrez la vidéo sur les propriétés intuitives, que je peux remplacer ça par l'intégrale entre x et a. Qu'est-ce que je remarque ? Je remarque, pour le remarquer je vais peut-être faire un petit switch, je vais changer de place les deux intégrales, mais je remarque quand même que entre ici, entre x et a, et a et x plus h, j'ai cette intégrale pour laquelle la fin de l'intervalle d'intégration est un a, et cette intégrale là, pour laquelle le début de l'intervalle est un a. Là tout de suite, je vais penser à la propriété de Schall. On va essayer de penser à ça, donc c'est Schall qu'on veut appliquer. Je vais décaler un peu ma fiche. C'est Schall qu'on va vouloir appliquer ici, parce qu'on sait que quand on part sur un intervalle entre x et a, puis on demande ensuite l'erreur entre a et x plus h, je peux directement dire que ça c'est égal à l'erreur entre x et x plus h. C'est ce qu'on fait ici. On dit que cette chose c'est égal à l'erreur entre x et x plus h. Concentrons-nous là-dessus maintenant. Qu'est-ce que c'est que l'erreur entre x et x plus h de la fonction f ? Je vais m'aider d'un dessin pour faire ça. Donc si j'ai ma fonction f qui est croissante positive, je peux tracer, j'ai x ici, alors il crée en petit, je suis désolé pour ça, en petit x ici et x plus h ici. Ce que je peux faire c'est encadrer, comme on a déjà vu dans une vidéo précédente, je peux encadrer l'erreur sous ma courbe entre x et x plus h par l'erreur de deux rectangles. Le rectangle vert à gauche et le rectangle plus gros, vert, cumulé avec le petit bout rouge. Donc le rectangle qui est composé des deux rectangles vert et rouge, le grand. Je peux dire que mon erreur sous la courbe est comprise entre l'erreur de ce rectangle vert unique et l'erreur de ce rectangle bicolore, vert plus rouge. Quelle est la largeur et la longueur ? Quelles sont les largeurs et les longueurs de ces rectangles ? Les deux rectangles ont une largeur h. Entre x et x plus h, j'ai une largeur h comme vous voyez ici. Par contre leur hauteur va être différente. Pour le rectangle vert uniquement, je vois que la hauteur c'est le point sur la courbe ici, je vois que là pour x je m'arrête au point sur la courbe ici, donc c'est f de x. x plus h ça va être la même chose, mais pour le rectangle rouge. Donc disons, pour le rectangle vert je vois que j'ai une hauteur f de x, donc f de x ici. Pour le rectangle qui va jusqu'en haut là-haut, je vois que c'est x plus h qui doit m'intéresser. Quand je monte jusqu'en haut, je sais que la hauteur totale, je m'arrête sur la courbe, donc à la valeur f de x plus h. C'est pour ça que j'ai une hauteur f de x plus h ici. Peut-être que j'étais très long pour expliquer ce truc de hauteur, mais c'est important de le comprendre. Donc, c'est quoi l'aire d'un rectangle ? C'est la largeur fois la longueur. Donc l'aire de ce rectangle là c'est f de x fois h, l'aire de ce rectangle ici c'est f de x plus h fois h. Donc voilà, c'est ce que je peux écrire. J'ai donc f de x fois h, qui est plus petit ou égal à ? Ben oui, tout ça depuis tout à l'heure c'était le calcul de grand f de x plus h moins grand f de x, n'oubliez pas. Plus petit que ça, plus petit que f de x plus h fois h. L'aire de ce rectangle là. Ça c'est magnifique parce que moi ce qui m'intéresse vraiment c'est le rapport grand f de x plus h moins f de x divisé par h. C'est le taux d'accroissement. Là je vois que je peux le faire apparaître en divisant par h partout. H étant positif strict, il n'y a pas de problème d'inégalité. Donc si je divise par h de chaque côté, sur les trois côtés de l'inégalité, j'obtiens petit f de x, qui est plus petit que le taux d'accroissement au point x de la fonction grand f, qui est plus petit que f de x plus h. Or, n'oubliez pas, petit f est continu. Donc qu'est-ce que je vais pouvoir dire ? Je vais pouvoir dire que comme f est continu, la limite de f de x plus h quand h tend vers 0 est bien égale à f de x. Ce ne serait pas vrai si f n'était pas continu, mais c'est vrai dans ce cas-là. Donc là vous le voyez en mille j'imagine. Qu'est-ce que j'ai d'un côté ? J'ai petit f de x. De l'autre côté j'ai un truc qui va converger vers petit f de x. Donc j'ai un encadrement de quelque chose par deux valeurs qui vont converger vers une unique valeur, sur les deux expressions qui vont converger vers une même valeur. f de x à gauche, et ça ce sera f de x à droite. C'est encadré, c'est le théorème d'encadrement. Avec le théorème du gendarme, le théorème d'encadrement, on peut l'appeler de deux manières. Je vais pouvoir dire que la limite de ce truc-là va être f de x. Donc la limite de mon taux d'accroissement grand f de x plus h moins f de grand x divisé par h va être égale quand h tend vers zéro par le théorème d'encadrement, théorème du gendarme, à f de x. J'ai donc démontré deux choses. Un, que la fonction grand f est dérivable au point x pour un point x quelconque de l'intervalle a, b. Donc super. Et que son nombre dérivé vaut f de x. C'est super, c'est démontré. Le cas au programme, c'est uniquement pour les fonctions petit f qui est croissante, donc on peut s'arrêter là-dessus. Et on pourrait préciser la démonstration en prenant petit h négatif. Ce sera en fait exactement le même raisonnement. On peut s'arrêter là et dire que c'est bon. Si on prend un petit h positif ou un petit h négatif, on refait juste le même process. J'espère que cette démonstration a été claire. Je pense que c'est bien de la connaître, il faut la connaître. Elle est exigeable. Retenez bien les différentes étapes. Beaucoup de petites propriétés au début, puis ensuite l'utilisation de ce qu'on avait vu comme méthode d'approximation et d'encadrement par des rectangles, pour finir avec un brave terrain de gendarme. Posez des questions dans la FAQ si vous avez encore des doutes. Sinon je vous dis à la prochaine pour une prochaine vidéo.

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