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Analyse

Lien avec les Primitives

Dans ce cours sur le calcul intégral, la première méthode est expliquée. L'objectif principal de ce chapitre est de trouver une primitive pour résoudre les intégrales. Cela peut être plus difficile que de dériver. Ainsi, la méthode consiste à trouver une primitive pour résoudre l'intégrale donnée, puis à appliquer le théorème fondamental.

Dans l'exemple présenté, l'intégrale à calculer est l'intégrale de 0 à pi de x² moins cos2x. Pour résoudre cette intégrale, il suffit de trouver la primitive de chacun des termes (x² et cos2x) séparément. La primitive de x² est x³ et la primitive de cos2x est ½ sin2x. On peut vérifier que ces primitives conviennent en dérivant et en retrouvant les termes initiaux.

En appliquant le théorème fondamental, il suffit ensuite de substituer les valeurs de la fonction primitive à la borne supérieure (pi) et à la borne inférieure (0) de l'intervalle d'intégration. Il est important de faire attention aux signes lors de cette étape afin d'éviter des erreurs courantes. Il est recommandé d'écrire les signes moins entre parenthèses avant de développer les calculs pour éviter des confusions.

Dans cet exemple, le sinus de pi est 0, donc cela n'affecte pas le signe final du résultat. Après simplification, le résultat de l'intégrale est pi au cube sur 3.

Ainsi, ce cours présente une méthode pour calculer une intégrale en trouvant une primitive et en appliquant le théorème fondamental. Le résultat obtenu pour l'intégrale donnée est pi au cube sur 3.

Première méthode sur le calcul intégral, on va calculer notre premier intégral avec une primitive. Tout l'enjeu du chapitre d'intégration, souvent, ça va être de trouver une primitive, c'est ça le plus compliqué. C'est toujours facile de dériver, trouver une primitive, des fois, ce n'est pas simple. Donc ça va être l'enjeu, souvent, de ce chapitre. Donc là, on se propose de calculer une intégrale, avec cet exercice là. Quelle est la méthode à appliquer ? D'abord, je trouve une primitive, et une fois que j'ai trouvé la primitive, c'est gagné, j'applique le théorème fondamental. Pour cette intégrale-là, c'est l'intégrale de 0 à pi de x² moins cos2x. Je vais chercher une primitive, déjà, je remarque que c'est une somme. La primitive d'une somme, c'est la somme des primitives. Il suffit juste de trouver la primitive de x², moins la primitive de cos2x. Bon, ça c'est assez simple. Du coup, une primitive de x², c'est x3, une primitive de cos2x, c'est ½ de sin2x. C'est bien une primitive de f. Alors, remarque, une primitive de coskx, c'est 1 sur k sinx, que j'anticipe. Parce que, toujours l'idée, c'est de dire, quand je dérive le sinx, il y a un k qui va apparaître. C'est pour ça que je mets 1 sur k pour contrer ce truc-là. Si jamais vous avez un doute, on revérifie, je prends cette primitive, et on revérifie que quand je dérive, je tombe bien sur la fonction initiale. Donc là, j'applique tout simplement le théorème fondamental. L'intégrale de 0 à pi de f2x dx, c'est f2x en pi moins f0. Donc là, je remplace tout simplement, je fais les calculs. Alors, attention, parce que ça, c'est une erreur vraiment typique. Ne vous trompez pas dans les moins, là. Moi, ce que je vous recommande, c'est d'abord d'écrire le moins avec des parenthèses, et ensuite, je développe. Parce que, franchement, les erreurs de signes, en appliquant le théorème de fondamental, c'est un classique, vraiment, que les élèves, l'erreur, ils le font toujours. Vraiment, même les bons élèves, ils tombent toujours dans le panneau une fois ou deux. Donc, faites comme vous voulez. Moi, ce que je vous recommande, c'est de ne pas vraiment faire dans sa tête les calculs de moins en moins. Je l'écris, j'écris moins, je mets des parenthèses, et après, je le vois. C'est en développant que là, je peux faire les trucs. C'est beaucoup plus facile de faire les calculs qu'on a sous les yeux que dans la tête. Donc là, qu'est-ce que je remarque ? Je remarque que le sinus de pi, c'est 0. Effectivement, on s'en fiche un peu, ça fait sinus de 0, donc je n'ai pas de problème de signes puisque c'est 0, mais voilà le principe. Donc là, quand je simplifie tout, ça fait pi au cube sur 3. Donc j'ai calculé l'intégral. Voilà pour ce premier calcul d'intégral.

Calcul d'Intégrale avec Primitive

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