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Linéarité d'une Intégrale
Dans cette vidéo, nous utilisons la linéarité de l'intégrale pour simplifier le calcul des primitives en séparant les termes. Nous étudions une fonction f(x) = x^x et devons montrer que la fonction F proposée est une primitive de cette fonction. En dérivant F, nous constatons que nous obtenons bien f(x), ce qui confirme qu'il s'agit d'une primitive.
Ensuite, nous devons calculer l'intégrale de 0 à 1 de 3t - 2 e^x^x. Cependant, il y a une erreur dans l'énoncé où "t" est utilisé à la place de "x". Nous rectifions cette erreur et simplifions l'intégrale en utilisant la méthode de l'intégration par parties (IPP). Nous posons U(x) = 3x - 2 et V'(x) = e^x^x. Nous calculons ensuite les dérivées et primitives de ces termes.
En appliquant l'IPP, nous obtenons une expression simplifiée pour l'intégrale où il ne reste plus qu'à calculer l'intégrale de e^2x. Finalement, nous effectuons les calculs nécessaires et trouvons que l'intégrale équivaut à 2e^5.
En résumé, nous utilisons la linéarité de l'intégrale et la méthode de l'IPP pour calculer la primitive d'une fonction et résoudre une intégrale spécifique. Il est important de garder en tête que lorsque nous avons un polynôme multiplié par une exponentielle, l'IPP est souvent une bonne méthode à employer.
