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Analyse

Lien avec les Primitives

Dans ce cours, nous abordons la méthode des encadrements d'intégrales pour trouver des limites. Nous commençons par étudier une fonction f(x) égale à E(-x^2). Nous cherchons à encadrer cette fonction pour tout x supérieur à 1. Étant donné que l'exponentielle est toujours positive, nous pouvons dire que E(-x^2) est positive pour tout x supérieur à 1.

Ensuite, nous voulons montrer que cette fonction est inférieure à E(-x). Pour cela, nous utilisons des étapes de raisonnement. Comme x est supérieur à 1, nous multiplions par x (qui est positif) des deux côtés de l'inégalité. Ensuite, nous multiplions par -1 pour changer le signe de x^2, ce qui donne -x^2. Nous composons ensuite cette expression avec l'exponentielle, qui est une fonction strictement croissante et qui ne change pas le signe des inégalités. Ainsi, nous obtenons l'inégalité recherchée.

En utilisant la propriété de monotonie de l'intégrale, nous déduisons un encadrement de l'intégrale de f(x) de 1 à 2. Pour tout x appartenant à l'intervalle [1, 2], nous avons que 0 est inférieur à f(x) qui est inférieur à E(-x). Nous calculons ensuite l'intégrale de ces deux fonctions : l'intégrale de 0 est évidemment 0, et l'intégrale de E(-x) est facilement primitivable et donne E(-1) - E(-2). Ainsi, nous avons encadré notre intégrale entre 0 et E(-1) - E(-2).

C'est ainsi que nous pouvons encadrer une intégrale en utilisant la propriété de monotonie de l'intégrale.

On va maintenant faire des encadrements d'intégrales qui peuvent nous être utiles pour trouver des limites, etc. Voilà pour cette méthode. On nous propose une fonction à étudier qui est f de x égale E de moins x carré et déjà, première question, on nous demande d'encadrer ça. Pour tout x supérieur à 1, on veut trouver cet encadrement. Déjà supérieur à 0, c'est évident, une exponentielle est toujours positive. Donc forcément E de moins x carré est positive, quel que soit x, pour tout x supérieur à 1, d'ailleurs pour tout x réel aussi, peu importe, mais en l'occurrence c'est toujours vrai pour x supérieur à 1. Et ensuite, pour montrer que c'est plus petit qu'E de moins x, je vais raisonner, je vais encadrer petit à petit. J'ai x qui est supérieur à 1, par hypothèse, donc je multiplie par x qui est positif. Toujours se poser la question quand j'utilise une inégalité, c'est bien positif donc ça ne change pas le signe de mes inégalités. J'ai x qui est supérieur à x carré, je multiplie par moins 1, là ça change de signe, alors je permute, c'est moins x carré positive moins x, et je le compose par l'exponentielle qui est une fonction strictement croissante, donc ça ne change pas le signe de mes inégalités. Donc voilà, j'ai bien l'inégalité voulue, les deux réunies ça donne bien le résultat demandé. Et du coup je dois en déduire un encadrement de l'intégrale de 1 à 2 de f de x dx. Donc par monotonie de l'intégrale, c'est la propriété à utiliser, pour tout x appartenant à 1, 2, j'ai 0 qui est inférieur à f qui est inférieur à e de moins x, donc du coup je fais l'intégrale de chacune de ces deux fonctions, donc l'intégrale de 1 à 2 de 0, évidemment ça fait 0, l'intégrale ici de 1 à 2 de f de x, c'est ce que je cherche à encadrer, et l'intégrale de 1 à 2 e de moins x, là c'est une fonction que je sais facilement primitiver, ça fait moins e de moins x, je fais le calcul, ça fait e de moins 1 moins e de moins 2. Donc finalement j'ai encadré mon intégrale, je sais que cette intégrale là est comprise entre 0 et e de moins 1 moins e de moins 2. Donc voilà comment on peut encadrer une intégrale en utilisant la monotonie de l'intégrale.

Encadrer une Intégrale

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