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Théorème de Rolle
Dans ce cours, nous allons voir comment utiliser le théorème de Rolle de manière efficace. Le théorème de Rolle se présente sous forme d'exercices, notamment avec une petite astuce pas facile à comprendre.
Pour commencer, nous considérons une fonction f définie sur un intervalle i, de classe Cn, qui s'annule en n plus un point distinct de i. Nous voulons montrer que la dérivée n s'annule au moins une fois sur i, puis que la dérivée n-1 de f'αf s'annule également au moins une fois sur i.
La première méthode consiste à utiliser la récurrence. Nous démontrons la propriété suivante pk : la dérivée km s'annule n plus une moins k fois au moins sur i. Pour l'initialisation, nous n'avons pas de problème. Par hypothèse, fk s'annule n plus une moins k fois. Nous voulons montrer que la dérivée k plus unième s'annule n moins k fois au moins. Nous appliquons le théorème de Rolle sur chaque intervalle ij défini par les points αj et αj plus 1. Ainsi, nous avons n moins k intervalles sur lesquels la dérivée s'annule au moins une fois. En utilisant le théorème de Rolle, nous démontrons que fk plus 1 s'annule au moins n moins k fois. Cette démonstration par récurrence fonctionne parfaitement.
Pour la question 2, nous introduisons une fonction h qui est égale à f de x multiplié par e de alpha x. En dérivant h, nous obtenons h prime qui est égal à f prime plus alpha f fois e de alpha f. L'astuce ici est que nous pouvons appliquer le théorème de Rolle sur chaque point où h s'annule, car si h prime s'annule au moins une fois, cela signifie que le terme f prime plus alpha f s'annule également au moins une fois. En utilisant les hypothèses précédentes, nous appliquons le théorème de Rolle et retrouvons que la dérivée enième de f prime plus alpha f s'annule au moins une fois.
Ainsi, nous pouvons utiliser le théorème de Rolle dans des exercices en utilisant une petite astuce pour simplifier la démonstration.
