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Algèbre

PGCD

Dans cet exercice, nous devons trouver deux nombres en utilisant le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) et le PPCM (Plus Petit Commun Multiple). Nous avons les informations suivantes : A est plus petit que B, le PGCD des deux nombres est égal à 6, et le PPCM est égal à 102.

Pour résoudre ce problème, nous devons rappeler qu'il existe une formule qui relie le produit de deux nombres à leur PGCD et leur PPCM. Cette formule indique que le produit de A et B est égal au produit de leur PGCD et leur PPCM.

Nous allons utiliser une propriété du PGCD pour trouver les valeurs de A et B. Il existe A' et B' tels que A est égal à 6 fois A' et B est égal à 6 fois B'. De plus, A' et B' sont premiers entre eux, ce qui signifie qu'ils n'ont pas de diviseurs communs autres que 1.

Si nous utilisons cette formule avec les valeurs de A et B données, nous avons 6 fois A' fois 6 fois B' est égal à 6 fois 102, ce qui simplifie en A'B' égal à 17.

Comme 17 est un nombre premier et que A' est plus petit que B', nous pouvons conclure que A' est égal à 1 et B' est égal à 17. Cependant, nous recherchons les valeurs de A et B, donc nous utilisons cela pour trouver que A est égal à 6 (6 fois 1) et B est égal à 17 fois 6, soit 102.

Donc, les nombres que nous cherchons sont A = 6 et B = 102.

Salut ! Dans cet exercice, on va trouver deux nombres, donc on va manipuler le PGCD et le PPCM, parce que les informations qu'on a sur ces deux nombres, c'est que A est plus petit que B, et leur PGCD vaut 6 et leur PPCM vaut 102. Donc, on a besoin de faire un petit rappel pour ça, c'est une formule qui relie des nombres avec leur PGCD et PPCM, c'est cette formule-là, c'est que le produit de deux nombres, c'est le produit de leur PGCD et de leur PPCM. Donc, là, ce qu'on va utiliser, c'est le fait qu'on va utiliser une propriété du PGCD de deux nombres, ça veut dire qu'il existe A' et B', tel qu'on a ça. D'accord ? Le PGCD, c'est 6, donc on peut trouver A' et B', qui vérifient que A, c'est 6 fois A', B, c'est 6 fois B', et du coup, A' et B' sont premiers entre eux, par définition du PGCD, tout simplement. D'accord ? Ça, c'est quelque chose qu'on peut utiliser... qu'on utilise assez souvent avec le PGCD pour, finalement, se ramener à des nombres premiers entre eux. Donc, si on écrit cette formule, mais avec ce A et ce B là, donc ça nous donne 6 fois A' fois 6 fois B', donc ça, c'est A fois B, est égal à 6 fois 102, qui est égal à PGCD fois PPCM. Eh bien, on simplifie par 6, déjà, ici. Pardon, on simplifie par 6 ici, et même mieux, parce que 102, c'est divisible par 6, c'est même 6 fois 17, donc on se retrouve avec A'B' est égal à 17. Donc là, A'B', ce sont deux nombres premiers entre eux, le produit vaut 17, mais sauf que 17 est un nombre premier. Comme 17 est premier et que A' est plus petit que B', d'accord, parce que A est plus petit que B, donc A' est plus petit que B', forcément, A' vaut 1, et B' vaut 17, d'accord, parce que le produit des deux fait 17, ça veut dire que les deux sont des diviseurs de 17, donc il n'y a que 1 et 17 comme diviseur, vu que A' est plus petit, il vaut 1, vu que B' est plus grand, il vaut 17. Mais nous, ce qui nous intéresse, c'est A et B, donc on utilise ça pour se ramener à A et à B, eh bien, on a tout simplement que A, du coup, c'est 6 fois A', donc c'est 6, et B, c'est 6 fois B', donc c'est 17 fois 6, et ça, c'est 102. Donc voilà pour cet exercice.

PGCD et PPCM

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