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Algèbre

PGCD

Dans cet exercice, on nous parle de deux suites : u et v. La suite u est définie par u0 = 0, u1 = 1, et la relation de récurrence un+2 = 3un+1 - 2un. La suite v est définie par vn = un+1 - un. On nous demande de montrer que la suite v est une suite géométrique et de déterminer sa raison et son premier terme.

Pour montrer que la suite v est géométrique, on calcule vn+1 et on essaye de l'écrire comme quelque chose fois vn. En effectuant les calculs, on obtient que vn+1 = 2vn. Donc la suite v est bien géométrique avec une raison de 2 et son premier terme est v0 = 1.

Ensuite, on nous demande de déduire que pour tout entier n, un est un entier naturel et que un+1 = 2(un+1). Cette question peut sembler étrange car on parle de la suite v et ensuite on demande de déduire quelque chose à partir de cette question. Cependant, on remarque que la suite v est construite de manière particulière : vn est la différence entre deux termes consécutifs de la suite u. On peut donc penser à une somme télescopique pour trouver des informations sur un et un+1.

En effectuant la somme des termes de la suite v, on obtient que la somme de vn pour k allant de 0 à n est égale à un+1. Or, la suite v étant géométrique, on connaît une formule pour calculer la somme d'une suite géométrique : v0(1-q^n+1)/(1-q), où v0 est le premier terme de la suite v, q est la raison et n est le nombre de termes. En remplaçant par les valeurs connues, on trouve que la somme des termes de v est égale à 2^(n+1) - 1. Donc un+1 = 2^(n+1) - 1. Cela signifie que pour tout entier naturel n, un est un entier.

On nous demande également de vérifier que un+1 = 2un+1. En substituant un par 2^(n+1) - 1 dans cette équation, on obtient bien l'égalité.

Enfin, on déduit que deux termes consécutifs de la suite u sont premiers entre eux. Pour le prouver, on utilise le théorème de Bézout qui dit qu'une combinaison linéaire de deux entiers donne le PGCD de ces entiers. On a montré précédemment que un+1 = un - 2un. Donc en passant un+1 de l'autre côté de l'équation, on obtient que le PGCD de un et un+1 est égal à un. Donc les termes consécutifs de la suite u sont bien premiers entre eux.

Salut ! Dans cet exercice, on va voir un exo sur le PGCD et on va intégrer un peu de suites là-dedans. On nous parle d'une suite définie sur n par u0 est égale à 0 et u1 est égale à 1, et du coup on a une relation de récurrence que un plus 2 c'est 3 un plus 1 moins 2 un. On nous donne une autre suite, vn, qu'on définit comme étant un plus 1 moins un et il faut montrer que c'est une suite géométrique, dont on déterminera la raison et le premier terme. Pour montrer que c'est une suite géométrique, on va calculer vn plus 1 et on va essayer d'écrire que vn plus 1 c'est quelque chose fois vn. C'est parti, on se lance, on va voir où ça nous mène. Vn plus 1, c'est un plus 2 moins un plus 1. Un plus 2, on remplace par cette écriture-là, ça nous fait 3 un plus 1 moins 2 un moins du coup un plus 1 qui traîne d'ici. On regroupe les un plus 1 ensemble, ça nous en fait 2. On factorise par 2 du coup, ça nous fait 2 facteurs de un plus 1 moins un. Un plus 1 moins un, on reconnaît tout de suite que c'est ici vn. Donc là, on a deux fois vn. Finalement, on a montré que c'est une suite géométrique de raison 2. Et le terme initial, donc v0, c'est u1, c'est égal à 1. Donc vn, c'est une suite géométrique de raison 2. Et le terme initial, v0 est égal à 1. Ensuite, on nous dit en déduire que pour tout entier n, un c'est un entier naturel et que un plus 1 est égal à 2 fois un plus 1. Donc là, c'est un peu bizarre comme question parce qu'on nous parle d'une suite vn. On nous demande de montrer qu'elle est géométrique et ensuite on nous parle de en déduire. Donc de cette question, il faut en déduire quelque chose. A priori, ça saute absolument pas aux yeux ce qu'on nous demande. Mais ce qu'il faut remarquer, c'est que vn, elle n'est pas construite n'importe comment. Vn, c'est un terme de un moins celui d'avant. Donc quelque chose à quoi il faut penser, c'est une somme télescopique. Parce que quand on va additionner tous les vn, ça va nous faire une somme télescopique parce qu'on va avoir par exemple u1 moins u0 plus u2 moins u1 plus u3 moins u2 et à chaque fois, comme une somme télescopique, il va rester que le dernier moins le premier. Et ça, ça va nous donner une information sur potentiellement un voire un plus un. Donc on va regarder ce qui se passe. La somme des termes de vn, comme je disais, c'est une somme télescopique. Donc on a que la somme de k égale 0 à n des vn, donc c'est le dernier terme, ça veut dire qu'en vn, c'est un plus un moins le premier terme u0. Et ça, ça nous fait un plus un parce que le premier terme u0, c'est 0. Donc finalement, la somme de 0 à n des vn, donc des termes de la suite, c'est juste un plus un. Sauf que la suite vn, c'est une suite géométrique, donc cette somme-là, on la connaît. On peut la calculer, on a une formule pour la suite géométrique. On sait que la somme d'une suite géométrique, c'est le terme initial v0 à 1-q, donc la raison de puissance n plus 1, le nombre de termes, il y en a n plus 1, sur 1-q. On remplace par ce qu'on sait, v0, on sait que c'est 1, la raison, on sait que c'est 2, on fait le calcul et on trouve 2 puissance n plus 1 moins 1. Ça nous dit que un plus un, c'est 2 puissance n plus 1 moins 1. Ça, pour tout entier naturel, ça veut dire que c'est un entier. Un plus un est toujours entier. Avec un petit décalage d'indice tout simple, un, c'est un entier. Pour n'importe quel n appartenant à n, un est un entier. On nous demandait aussi de vérifier quelque chose, c'est que un plus un est égal à 2 un plus 1. Un, c'est 2 puissance n plus 1, donc 2 un plus 1, c'est 2 fois 2 puissance n moins 1 plus 1. On développe ici, ça nous fait 2 puissance n plus 1 moins 2 plus 1. On se retrouve avec 2 puissance n plus 1 moins 1, c'est exactement un plus un. On a bien ce qu'on nous demandait, que ça, 2 un plus 1, c'est égal à un plus 1. Ensuite, dans la dernière question, on déduit que deux termes consécutifs de la suite sont premiers entre eux. Là, quand on voit ça, ça peut ne pas paraître évident, mais cette égalité nous donne quasiment le résultat. Pour montrer qu'ils sont premiers entre eux, on va utiliser le théorème de Bézout. Le théorème de Bézout, ça veut dire qu'une combinaison linéaire entre un et un plus un, si on trouve un, c'est bon, le PGCD, c'est un. C'est le théorème de Bézout qui nous dit ça. Là, c'est ce qu'on va faire. On a que 2 un plus 1 est égal à un plus 1, donc 1, c'est égal à un plus 1 moins 2 un. On passe tout simplement celui-là de l'autre côté. Là, le théorème de Bézout nous dit que le PGCD de un et de un plus 1, c'est exactement égal à un. Donc ils sont bien premiers entre eux, de termes consécutifs.

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