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Algèbre

PGCD

Dans cet exercice, nous cherchons un couple de nombres A et B tels que leur PGCD est égal à 42 et leur PPCM est égal à 1680. Nous commençons par utiliser la propriété qui dit que le PGCD de deux nombres peut être exprimé en utilisant des diviseurs premiers. Ainsi, nous pouvons écrire A comme étant égal à 42 multiplié par A' et B comme étant égal à 42 multiplié par B'. En utilisant cette simplification, nous pouvons ensuite appliquer la formule qui dit que le produit de deux nombres est égal au produit de leur PGCD et de leur PPCM. En remplaçant A et B par leur formulation simplifiée, nous obtenons l'équation 42A' * 42B' = 42 * 1680. Après simplification, nous obtenons A' * B' = 40. Puisque A' et B' sont des diviseurs de 40 et qu'ils doivent être premiers entre eux, les seules possibilités sont A' = 1 et B' = 40, ou A' = 5 et B' = 8. En utilisant ces valeurs, nous obtenons finalement les solutions A = 42 et B = 1680, ou A = 210 et B = 336 pour le système d'équations du PGCD et du PPCM.

Salut ! Dans cet exercice, on va chercher un couple A et B dentier naturel en utilisant une relation avec leur PGCD et leur PPCM. Alors, une information qu'on nous donne, c'est que leur PGCD vaut 42 et leur PPCM vaut 1680. Bon, là ce qu'on va faire, c'est utiliser ces infos pour voir ce qu'on peut faire. Une des méthodes à faire quand c'est comme ça, c'est d'extraire des diviseurs premiers de A et de B, enfin diviseurs premiers entre eux, pardon. Donc ce qu'on va faire, étant donné que le PGCD des deux nombres c'est 42, il existe A' et B' qui sont premiers entre eux, qui vérifient que A est égale à 42 A' et B est égale à 42 B'. Donc ça c'est vraiment, c'est le fondamental, c'est quelque chose qu'on utilise très souvent avec le PGCD de deux nombres quand on cherche à montrer, à les trouver ou à trouver des relations entre eux. On utilise ça et après on va simplifier par ça parce que ça nous arrange bien. Donc, ayant fait ça, on a besoin d'un petit rappel, donc d'une formule qu'on va utiliser, c'est que le produit de deux nombres c'est égal au produit de leur PGCD et de leur PPCM. Bon, ça maintenant on a tout ce qu'il nous faut, on n'a plus qu'à remplacer et ça nous fait 42 A', donc ça c'est A, 42 B' c'est B, pardon, est égale à 42, qui est leur PGCD, fois 1680 qui est leur PPCM. On simplifie par 42 ici et là, ensuite 1680, ça saute pas aux yeux, mais c'est 42 fois 40. Donc on peut aussi simplifier 42 ici et il reste 40, donc on se retrouve avec A' B' est égal à 40. Donc ça veut dire que A' et B' sont tous les deux des diviseurs de 40. Alors, on pourrait penser qu'il y a beaucoup de choix, parce que les diviseurs de 40 il y en a beaucoup, on peut avoir 2 fois 20, 4 fois 10, etc, mais il y a cette information qui est cruciale, ils sont premiers entre eux. Si on exclut tous ceux qui ont des diviseurs communs dans les diviseurs de 40, donc ça veut dire par exemple si on fait 2 fois 20, 2 fois 20, il y a deux qui sont en commun, ils ne sont pas premiers entre eux. Si on exclut tout ça, les seules possibilités qui restent, donc on a besoin de faire une petite supposition parce qu'on nous le dit pas, on a besoin de supposer que A est plus petit que B, quitte à échanger le rôle, c'est symétrique, on a besoin de supposer que A est plus petit que B par exemple, et donc les possibilités pour A' et B' c'est 1, 40 et 5, 8. C'est les seules possibilités de diviseurs de 40 qui sont premiers entre eux. Donc finalement, en utilisant ça, on va se ramener à A et à B, et donc les possibilités pour A et B sont A est égale à 42 et B est égale à 1680, ou A est égale à 210 et B est égale à 336. Donc voilà toutes les solutions de ce système d'équation avec le PGCD et le PPCM.

PGCD+PPCM

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