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Algèbre

Théorèmes de Bézout et Gauss

Dans cet exercice, nous démontrons que la fraction (9n + 1) / (6n + 1) est irréductible pour tout entier n. Pour cela, nous utilisons le fait qu'une fraction est irréductible si et seulement si le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1. Nous rappelons également le théorème de Bézout qui stipule que le PGCD de deux nombres est égal à 1 s'il existe u et v dans Z tels que au plus bv soit égal à 1.

En utilisant ces concepts, nous arrivons à la conclusion que la fraction (9n + 1) / (6n + 1) est irréductible si et seulement si (9n + 1)u + (6n + 1)v est égal à 1 pour certains u et v dans Z. 

En développant cette expression, nous obtenons (n(9u + 6v) + (u + v)) = 1. Pour que cette égalité soit vraie pour tous les entiers n, nous devons avoir 9u + 6v = 0 et u + v = 1. Il est évident que u = -2 et v = 3 satisfont ces équations.

Ainsi, nous concluons que (9n + 1) * 2 + (6n + 1) * 3 = 1, et selon le théorème de Bézout, ces nombres sont premiers entre eux. Par conséquent, la fraction est irréductible pour tout n.

Salut ! Dans cet exercice, on veut montrer que la fraction 9n plus 1 sur 6n plus 1 est irréductible pour tout entier n. Avant de se lancer, on a besoin de faire deux petits rappels. Une fraction est irréductible si et seulement si le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1. Alors bien sûr, si on parle de nombres entiers. On rappelle aussi le théorème de Bézout qui nous dit que le PGCD de nombres est égal à 1 si et seulement s'il existe u et v dans z tel que au plus bv est égal à 1. C'est ça qu'on va faire. On en déduit donc que la fraction est irréductible si et seulement s'il existe u et v dans z tel que 9n plus 1u plus 6n plus 1v est égal à 1. Alors, on va développer un peu ça. C'est ce qu'il y a à gauche de l'égalité. Donc on a, après c'est de la distributivité très classique, on factorise par n et donc on a que n facteur de 9u plus 6v plus u plus v. Ce truc-là doit être égal à 1 finalement. Parce que là, c'est cette expression mais on veut que ce soit égal à 1. Donc cette expression est égale à 1. Donc si on veut que cette égalité soit vraie, on doit avoir ça égal à 1 mais du coup, ça doit être vrai pour toute n. Et vu que ça doit être vrai pour toute n, il faut nécessairement que cette partie-là fasse 0. Parce que sinon, si ça ne fait pas 0, quand la valeur de n change, la valeur de tout ça change. Donc il faut qu'on ait 9u plus 6v est égal à 0, et qu'on ait u plus v soit égal à 1. Donc finalement, il faut résoudre 9u plus 6v est égal à 0 et u plus v est égal à 1. Il y a une solution qui saute aux yeux, qui est que u est égal à moins 2 et v est égal à 3. Donc on a juste besoin d'un u et d'un v qui vérifient pour montrer que ça marche, c'est égal à 1 et qu'ils sont premiers entre eux. Et donc, on les a trouvés. Donc finalement, on a que 9n plus 1 fois 2 plus 6n plus 1 fois 3 est égal à 1. Et du coup, le théorème de Bézout nous dit qu'ils sont premiers entre eux, et vu qu'ils sont premiers entre eux, la fraction est irréductible pour toute n. Et voilà ce qui conclut cet exercice.

Fraction irréductible

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