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Système congruences et Bezout
Dans cet exercice, nous devons résoudre un système de congruence en utilisant les équations de Dioff-Ancienne. Le système est le suivant : x ≡ 1 (mod 11) et x ≡ 3 (mod 4). Pour résoudre ce système, nous utilisons l'équation 11u + 4v = 2, où u et v sont des entiers relatifs. En écrivant les conditions x ≡ 1 (mod 11) et x ≡ 3 (mod 4) sous forme d'équations avec u et v, nous obtenons x = 1 + 11u et x = 3 + 4v. En simplifiant cette équation, nous obtenons 11u - 4v = 2, qui est l'équation diophantienne que nous devons résoudre.
Pour résoudre cette équation diophantienne, nous vérifions d'abord si le PGCD des deux coefficients divise la constante (2). Dans ce cas, nous avons PGCD(11, 4) = 1, ce qui divise bien 2. Par conséquent, l'équation admet des solutions. En observant les coefficients de l'équation (11 et 4), nous remarquons que la solution particulière est -2 et -6. En multipliant cette solution particulière par 2 (puisque nous voulons 2), nous obtenons la solution -4u + 12v = 2. En généralisant cette solution, nous obtenons l'ensemble des solutions suivant : u = -2 - 4k et v = -6 + 11k, où k est un entier quelconque (Z).
Ensuite, nous cherchons à trouver les solutions du système d'origine (x ≡ 1 (mod 11) et x ≡ 3 (mod 4)) modulo 44. Pour cela, nous exprimons x en fonction de u et v (x = 1 + 11u). En remplaçant u par -2 - 4k, nous obtenons x = 23 + 44k. Ainsi, l'ensemble des solutions du système est x ≡ 23 (mod 44).
