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Algèbre

Théorèmes de Bézout et Gauss

Dans cet exercice, nous allons prouver que la racine de 2 est un nombre irrationnel en utilisant la méthode du raisonnement par l'absurde. 

Nous supposons que la racine de 2 est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire sous la forme P/Q, où P et Q sont des nombres entiers premiers entre eux. 

Nous effectuons quelques calculs et arrivons à la conclusion que P au carré est égal à 2Q. Comme P au carré est pair, cela signifie que P est pair. 

En remplaçant P par 2K, nous obtenons que 4K au carré est égal à 2Q au carré, et simplifiant cette équation, nous obtenons que Q au carré est égal à 2K au carré. 

Cela implique que Q au carré est pair, donc Q est pair également. 

Cependant, cela contredit le fait que P et Q soient premiers entre eux, car ils sont tous les deux divisibles par 2. 

Nous arrivons donc à une contradiction, ce qui signifie que notre supposition de départ selon laquelle la racine de 2 est un nombre rationnel est fausse. 

Ainsi, nous pouvons conclure que la racine de 2 est un nombre irrationnel.

Salut ! Dans cet exercice, on va montrer que racine de 2 est irrationnelle. C'est quelque chose de très classique, il faut absolument savoir le faire. La méthode la plus connue, et celle qu'on va voir ici, c'est d'utiliser le raisonnement par l'absurde. Le raisonnement par l'absurde, c'est on va supposer quelque chose et on va aboutir à une contradiction, donc notre supposition de départ sera fausse. Ici, on va supposer qu'il est irrationnel, donc on va supposer qu'il existe P et Q dans Z étoile, premier entre eux, donc ça c'est très important, tel que racine de 2 est égale à P sur Q. Donc ça, c'est n'importe quel nombre rationnel, on peut l'écrire comme P sur Q, premier entre eux, donc voilà. Donc, on va faire des calculs et on va voir si on aboutit à une contradiction ou pas. Donc ici, racine de 2 est égale à P sur Q, on va passer le Q de l'autre côté, on se retrouve avec P est égale à Q racine de 2, en passant au carré, pour se débarrasser des racines carrées, on va voir que P carré est égale à 2Q. Bon, P carré est égale à 2 fois quelque chose, donc P carré est pair, mais si P carré est pair, nécessairement, P est pair. Bon ça, si vous n'en êtes pas convaincu, vous pouvez l'écrire au brouillon rapidement, ça se montre très rapidement, puisqu'on l'a déjà montré dans quelques exercices, là c'est pas le but. Donc si P carré est pair, P est pair. D'accord ? Mais si P est pair, ça veut dire qu'il existe K dans Z étoile, tel que P est égal à 2K. On remplace P carré par 2K au carré, ce qui nous fait 4K au carré, et donc on a que 4K au carré est égal à 2Q carré. On simplifie par 2, et donc ça nous fait que Q carré est égal à 2K au carré. Du coup, ça nous dit que Q carré est pair, parce qu'on a Q carré est égal à 2 fois un nombre entier, donc Q carré est pair. Mais du coup, pareil, même raisonnement, ça nous dit que Q est pair aussi. Mais là, on a que P et Q sont pairs, tous les deux. Mais ça, ça contredit le fait qu'ils sont premiers entre eux, parce que s'ils sont pairs, ils sont tous les deux divisibles par 2. Donc ça contredit le fait que leur PGCD vaut 1, c'est-à-dire qu'ils sont premiers entre eux. Et elle est là, la contradiction. Donc, racine de 2 ne peut pas s'écrire comme P sur Q, avec P et Q dans Z premiers entre eux, et donc, nécessairement, racine de 2 est irrationnelle. Et donc voilà pour cette démonstration.

√2 est irrationnel : démo

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