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Algèbre

Théorèmes de Bézout et Gauss

Dans cet exercice, nous devons résoudre une équation diophantienne en nous restreignant aux solutions positives. Nous devons montrer que si S est supérieur à 4, il existe au moins une solution. Si S est entre 0 et 4, nous devons déterminer les valeurs pour lesquelles il existe au moins une solution. Pour cela, nous constatons que si y est différent de 0, nous dépassons la valeur de S, donc y doit être égal à 0. Ensuite, en examinant les valeurs possibles pour x, nous trouvons les solutions 0, 1 et 2. Ainsi, les valeurs possibles pour S dans cette plage sont 0, 2 et 4.

Ensuite, nous devons prouver par récurrence que si S est supérieur ou égal à 4, l'équation admet au moins une solution dans N². Nous faisons une initialisation en montrant que pour S = 4, il existe une solution. Ensuite, nous supposons qu'il existe un S tel que l'équation admette une solution et nous devons montrer que S + 1 admet également une solution. En utilisant l'équation de Bézout, nous parvenons à représenter S + 1 comme une combinaison linéaire de 2x et 5y. En distinguant les cas où y = 0 et y ≥ 1, nous montrons que l'équation admet une solution dans N² pour tout S ≥ 4.

En conclusion, cet exercice démontre comment résoudre une équation diophantienne en restreignant les solutions aux nombres positifs et utilise la récurrence pour prouver l'existence de solutions pour certaines valeurs de S.

Salut ! Dans cet exercice on va résoudre cette équation diophantienne mais on se restreint aux solutions positives, c'est à dire les solutions négatives ne nous intéressent pas, donc c'est pas une équation diophantienne classique et on va voir que c'est pas forcément facile de savoir s'il y a des solutions ou pas. Donc on nous dit voilà le but c'est de montrer que si S est plus grand que 4 il y a au moins une solution, ce qui a priori n'est pas forcément évident. Donc première question, on nous dit que si S est entre 0 et 4 il faut déterminer les valeurs pour lesquelles il y a au moins une solution. Du coup bon bah si S est entre 0 et 4, étant donné que x et y doivent être dans n tous les deux, nécessairement y égale 0 parce que si y il vaut au moins 1, on va pas faire réduire avec 2x parce qu'on sera du positif donc même si celui ci vaut 0, si y vaut au moins 1, on est à 5 déjà. Donc étant donné que S il est entre 0 et 4, si y est non nulle, on est plus grand que S et on pourra pas, comme je dis, compenser par du x négatif pour revenir parce que x est positif aussi. Donc nécessairement y égale 0. Donc si y égale 0, donc la condition sur x du coup c'est qu'il soit entre 0 et 2 parce que si x est plus grand que 2, donc ça veut dire si x est au moins 1 égal à 3, ici on vaut 6, pareil on dépasse. Donc nécessairement si y vaut 0, on a S est égale à 2x et comme je disais la condition sur x c'est entre 0 et 2, bah du coup c'est 0, 1 et 2 les solutions possibles. Donc pour S, si on fait le calcul avec ça, les valeurs possibles pour S pour avoir des solutions c'est 0, 2 et 4. Ensuite dans la deuxième question on nous dit montrer par récurrence que si S est supérieur ou égal à 4, l'équation E admet au moins une solution dans n carrés. Donc là on va le faire par récurrence comme on nous le demande. Donc ce qu'on va montrer, donc S voilà plus grand que 4, ce qu'on va montrer par récurrence, c'est la proposition qui dépend de S suivante, c'est que 2x plus 5y égale S admet au moins une solution dans n carrés. L'initialisation, on va montrer que la plus petite valeur de S, donc ça veut dire 4, donc P de 4 est vraie, ça on l'a déjà montré dans la première question, si S est égale à 4, on a déjà montré qu'il y avait des solutions ici en prenant tout simplement le x égale 2, y 0. Donc maintenant l'hérédité, on suppose qu'il existe un S tel que P de S soit vrai, on va montrer aussi que P de S plus 1 du coup est vrai à son tour. Donc c'est parti, d'après l'hypothèse de récurrence, on a dit il existe un couple xy tel que 2x plus 5y est égal à S. Là, on a dit, on va avoir une condition sur y. Si y vaut 0, alors 2x, on a 2x est égal à S, avec x qui est supérieur ou égal à 2, parce que S est supérieur ou égal à 4, donc x est supérieur ou égal à 2. Donc ce qu'on veut, nous, c'est voir S plus 1, comment on pourrait l'écrire comme 2 fois un nom positif plus 5 fois un nombre positif. 2x plus 5y, on sait que c'est égal à S, et du coup, on fait une équation de Bézout pour avoir 2 et 5 qui ont des coefficients pour faire 1, pour faire S plus 1. Et ensuite, on additionne, donc là j'ai fait tout en même temps, donc 2, on fait fois moins 2 et 5, on fait plus 1, on se retrouve avec moins 4 plus 5, ça fait 1. Et comme je disais, on additionne tout, donc la première équation et la deuxième équation, on additionne tout, et ensuite, on va factoriser par 2 et ensuite par 5, ici, pour avoir 2 fois x moins 2 plus 5 fois y plus 1. Et donc ça, ça nous fait S plus 1, et donc P de S plus 1 est vrai. Alors ça, c'est pour ça que j'ai distingué le cas y égale 0, et on va voir après distinguer le cas si y est supérieur ou égal à 1, parce que là, cette condition aussi était nécessaire, parce que là, on se retrouve avec du x moins 2. Mais si x est par exemple égal à 1, là, on se retrouve avec un coefficient négatif. Et ça, ça pose problème, parce que nous, on veut que nos solutions soient dans n carrés. Donc on veut que ici, x moins 2 et y plus 1 soient tous les deux positifs. Bon ben ça, c'est vrai, parce qu'on a dit x est supérieur ou égal à 2, et y, bon là, en plus, c'est le cas y égale 0, mais voilà, on met y plus 1. Donc voilà, pour nos solutions, elles sont bien dans n. Maintenant, on va voir si y supérieur ou égal à 1, on fait exactement le même raisonnement, mais cette fois-ci avec du y. Donc là, on a notre égalité d'hypothèse de récurrence, et on fait d'autres coefficients de Bézout. Donc cette fois-ci, on fait 2 fois 3 plus 5 fois moins 1 est égal à 1. On additionne de chaque côté. Et voilà pourquoi tout à l'heure, il fallait exclure le cas y égale 0, parce qu'en faisant cette, comment dire, cette combinaison avec l'équation de Bézout, on se retrouve donc x plus 3, cette fois-ci, ne va plus poser de problème du tout. Mais on se retrouve avec y moins 1. Et bien y moins 1 ici, si y vaut 0, y moins 1 pose problème, parce que ce serait négatif. Donc on avait bien besoin de voir quand y vaut 0, qu'est-ce qui se passe, et quand y est supérieur ou égal à 1, qu'est-ce qui se passe. Et donc là, ça ne pose plus de problème si y est supérieur ou égal à 1, parce que y moins 1 est supérieur ou égal à 0, comme prévu. Et donc du coup, P2s plus 1 est vrai. Donc finalement, P2s plus 1 est toujours vrai, donc la proposition est héréditaire. Donc P2s est vrai pour tout s supérieur ou égal à 4, donc ça veut dire que l'équation admet au moins une solution dans n² si s supérieur ou égal à 4. Et donc voilà pour cet exercice.

Solutions entières et récurrence

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