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Algèbre

Théorèmes de Bézout et Gauss

Dans cet exercice, nous devons montrer qu'un polynôme admet une racine rationnelle. Pour cela, nous devons prouver que si P/Q est une racine de F, alors P divise 3 et Q divise 2. Nous commençons par écrire F(P/Q) de manière simplifiée en évitant les fractions. Après quelques simplifications, nous obtenons l'équation 2P^3 + 5P^2Q + 5PQ^2 + 3Q^3 = 0 (équation 1). Pour montrer que P divise 3, nous factorisons l'équation 1 par P et observons que P divise -3Q^2. Étant donné que le PGCD de P et Q vaut 1, nous pouvons conclure que P divise 3, conformément à ce qui était demandé. De même, en factorisant l'équation 1 par Q, nous montrons que Q divise 2P^3, et nous pouvons conclure que Q divise 2. Ainsi, nous avons répondu à la première question.

Dans la deuxième question, nous devons déduire que F admet une racine rationnelle. Pour cela, nous savons que si une racine rationnelle existe, le numérateur doit diviser 3 et le dénominateur doit diviser 2. En utilisant les possibilités trouvées précédemment pour P et Q, nous testons les 8 combinaisons possibles. Après calculs, nous trouvons que la seule racine rationnelle est -3/2. Cela conclut l'exercice.

Salut ! Dans cet exercice, on va montrer que le polynôme défini par cette fonction admet une racine rationnelle. Alors, première question, on nous dit montrer que si P sur Q est une racine de F, alors P divise 3 et Q divise 2. On va écrire un peu ce qui se passe. Donc là, on suppose que F de P sur Q est égal à 0. C'est ça le principe d'une racine. On va essayer d'écrire F de P sur Q de façon la plus simple possible en évitant les fractions. Donc F de P sur Q, ça fait 2 fois P sur Q puissance 3, plus 5 fois P sur Q au carré, plus 5 fois P sur Q, plus 3 est égal à 0. Ça, c'est le fait que ce soit égal à 0. Alors ça, on simplifie. Les fractions de puissance, on les développe. Ça nous fait P puissance 3 sur Q puissance 3, P carré sur Q carré, P sur Q. Ceci est déjà développé. Alors là, le Q puissance 3, il nous embête un peu. Pardon, les fractions en Q nous embêtent un peu, donc on va multiplier par Q puissance 3. Ici, ça restera 0, mais ici, ça va enlever nos fractions. Et ça, on préfère. C'est plus sympa, surtout dans tout ce qui est divisibilité, arithmétique, tout ça. On n'aime pas les fractions. Donc, on multiplie par Q puissance 3 et ça nous fait cette égalité-là. Donc, je vais appeler le numéro 1. Ça fait 2P puissance 3, plus 5P carré Q, plus 5PQ carré, plus 3Q cube est égal à 0 pour cette équation. Et là, on nous demande de montrer que P divise 3 et Q divise 2. Donc, ce qu'on fait, c'est que pour montrer que P divise quelque chose, on voudrait avoir P fois quelque chose égale autre chose. C'est ça qu'on aimerait bien avoir, avoir P comme facteur. Donc, on va factoriser par P. On factorise par P, on a P facteur de 2P carré plus 5PQ plus 5Q carré, mais il y a ce terme-là qui n'est pas factorisable par P. Ou alors, on se retrouve avec des fractions, mais on a dit qu'on voulait éviter. Donc, on va tout simplement le passer de l'autre côté et ça va nous donner moins 3Q carré. Du coup, ça, ça va bien nous arranger. On va voir pourquoi. Parce que là, P, c'est un facteur de celui-ci. Donc, P divise moins 3Q cube. Et donc, étant donné que le PGCD de P et Q vaut 1, parce que c'est ça qu'on nous dit, on dit que P et Q sont premiers entre eux, comme leur PGCD vaut 1, d'après le théorème de Gauss, P divise moins 3, donc P divise 3. Et c'est ça qu'il fallait montrer. Maintenant, il faut faire quasiment la même chose avec Q et 2. Donc, on va non pas factoriser par P l'équation numéro 1, mais on va factoriser par Q. Et donc, on se retrouve avec 2P cube est égal à moins Q, facteur de 5P carré plus 5PQ plus 3Q carré. Même principe. Q divise 2P puissance 3, mais le PGCD de P et Q vaut 1, pareil, théorème de Gauss, on a que Q divise 2. Donc, on a répondu à la première question. La question 2, on nous dit en déduire que F admet une racine rationnelle. Donc là, on a des conditions. Si elle admet une racine rationnelle, on sait que nécessairement, le dénominateur divise 2 et le numérateur divise 3, sachant que le dénominateur... Pardon, le numérateur divise 3 et le dénominateur divise 2. Sachant que le dénominateur, donc Q, c'est un entier positif. Donc déjà, ça va éliminer quelques possibilités. Alors, d'après la question 1, donc s'il existe P et Q comme ça, tel que F de P sur Q est égal à 0, donc ça résume un peu ce que je viens de dire, les possibilités pour P, c'est moins 3, moins 1, 1, 3. Parce qu'on sait que c'est un diviseur de 3, ce sont les seuls. Et Q, c'est un diviseur de 2 positif, donc c'est que 1 et 2. Donc là, la méthode, c'est de tester les 8 possibilités pour P et Q avec tout ça. Donc ça veut dire, il faut tester est-ce que moins 3 sur 1... Quand c'est sur 1, du coup, on ne l'écrit pas en fraction. Est-ce que moins 3, moins 1, 1, 3 sont racines ? Sinon, on teste moins 3 sur 2, moins 1 sur 2, 1 sur 2, 3 sur 2, on les teste. Bon, je ne l'ai pas fait parce que c'est juste faire des calculs, ce n'est pas très intéressant. Mais du coup, la seule possibilité qui reste, donc la seule racine qui marche, c'est quand on teste moins 3 sur 2, c'est du coup la seule racine rationnelle de F. Et donc, voilà pour cet exercice.

Racine rationnelle de polynôme

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