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Algèbre

Indépendance : méthodes

Cet exercice de probabilités concerne un livre contenant 4 erreurs. Chaque erreur est corrigée par une série de relecteurs, avec une probabilité de 1/3 à chaque relecture. Les relectures et les corrections sont indépendantes les unes des autres.                                

La question principale est de savoir quelle est la probabilité que l'erreur n°1 ne soit pas corrigée lors de la énième relecture. En utilisant la notation AI pour décrire l'événement "l'erreur 1 est corrigée lors de la ième lecture", nous constatons que P(AI) = 1/3 et P(AI') = 2/3. Les AI étant indépendants, les AI' le sont également. Ainsi, la probabilité que l'erreur n°1 ne soit pas corrigée lors de la énième relecture est (2/3)^n.

La deuxième question concerne la probabilité que le livre soit entièrement corrigé lors de la énième relecture. On note BJ comme l'événement "l'erreur n°J n'est pas corrigée après la énième lecture" pour J = 1, 2, 3 ou 4. Nous voulons que l'intersection des BJ' se réalise pour que toutes les erreurs soient corrigées. Comme les BJ sont indépendants, les BJ' le sont également. La probabilité de l'intersection des BJ' est donc égale à (1 - (2/3)^n)^4.

Enfin, nous souhaitons savoir combien de relectures sont nécessaires pour que la probabilité que le livre soit entièrement corrigé soit supérieure à 0,9. En résolvant cette équation, nous trouvons que n doit être supérieur à log(1 - 0,9)^(1/4) / log(2/3), soit environ 9,001. Puisque n doit être un entier, nous commençons à partir de n = 10 pour avoir une probabilité supérieure à 0,9.

Salut, bienvenue dans cet exercice de probas. Le contexte, on nous dit qu'il y a un livre à 4 erreurs, numéroté de 1 à 4, qui est relu par une suite de relecteurs de relecteurs pour correction, pardon. A chaque relecture, chaque erreur est corrigée avec une probabilité de 1 tiers, et les erreurs sont corrigées de manière indépendante, et les relectures sont aussi indépendantes les unes des autres. Alors, quelle est la probabilité que l'erreur numéro 1 ne soit pas corrigée à l'issue de la énième relecture ? Pour ça, ce qui nous intéresse, si on note AI, l'événement, l'erreur 1 est corrigée lors de la ième lecture, déjà, on sait que P2 AI, c'est 1 tiers, et P2 AI bar, c'est 2 tiers. Ce qui nous intéresse, c'est qu'elle n'est pas corrigée à la première relecture, ni à la deuxième, ni à la troisième, ni à la quatrième, ni à la cinquième, etc., ce qui nous intéresse, c'est les AI bar. Étant donné que les AI sont indépendants, les AI bar le sont aussi. C'est quelque chose qu'il faut savoir, si on n'en est pas convaincu, on a juste à l'écrire, ça se fait très rapidement. La probabilité de l'intersection des complémentaires, du coup, vu qu'ils sont indépendants, c'est le produit de leur probabilité. Leur probabilité, on a dit qu'elles sont toutes égales à 2 tiers, donc ça fait 2 tiers puissance n. Que l'erreur numéro 1 ne soit pas corrigée à l'issue de la énième relecture, c'est 2 tiers puissance n. Ensuite, quelle est la probabilité que le livre soit entièrement corrigé à l'issue de la énième lecture ? Et ensuite, combien faut-il de relectures pour que cette probabilité soit supérieure à 0,9 ? On note BJ, c'est l'erreur BJ n'est pas corrigée après la énième lecture. J va de 1 à 4, excusez-moi. D'après la question 1, la probabilité de BJ, pour que l'erreur numéro J ne soit pas corrigée après la énième lecture, c'est 2 tiers puissance n. 2 puissance n sur 3 puissance n. Pour J qui vaut 1, 2, 3 ou 4. Le livre est entièrement corrigé à la énième relecture si l'intersection des BJ bar est réalisée. Si BJ bar est réalisée, ça veut dire que l'erreur numéro J est corrigée. On veut l'erreur n°1, n°2, n°3, n°4 qui soit corrigée, donc on veut l'intersection des BJ bar. La probabilité de l'intersection des BJ bar, les BJ sont indépendants, donc les BJ bar aussi. Les relectures de chaque erreur sont indépendantes. C'est le produit des BJ bar, la probabilité de l'intersection, c'est le produit des probabilités, et donc ça fait 1 moins 2 tiers puissance n, le tout, puissance 4. C'est la probabilité pour que le livre soit entièrement corrigé lors de la énième relecture. Maintenant on veut savoir combien il faut de relecture, il faut trouver n, pour que cette probabilité soit supérieure à 0.9. C'est quelque chose qu'on sait faire, c'est du log. On veut n telle que cette probabilité soit supérieure à 0.9. On veut que ça soit supérieur à 0.9. On sait faire, on résout en équivalence, on résout en n, et on trouve que n doit être supérieur au log de 1 moins 0.9 puissance 1 quart sur log de 2 tiers, qui fait à peu près 9,001. Vu que n est un entier, on veut qu'il soit plus grand que ce truc là, qui est un tout petit peu plus grand que 9, donc n va commencer à 10. Pour n supérieur ou égal à 10, on a bien une probabilité supérieure à 0.9

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