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Algèbre

Indépendance : méthodes

Dans cet exercice, nous étudions principalement l'indépendance entre deux joueurs, A et B, qui s'affrontent dans un jeu. Chaque joueur joue à tour de rôle et le jeu se compose d'au plus N parties. Le joueur qui gagne la première partie gagne le jeu dans son ensemble.

Nous supposons que le joueur A a une probabilité a de gagner et le joueur B a une probabilité b de gagner. De plus, nous supposons que chaque partie est indépendante des autres.

La première question consiste à déterminer la probabilité que ni A ni B ne gagnent, c'est-à-dire qu'aucun des joueurs ne gagne après 2N parties. Pour cela, nous prenons le complémentaire de l'événement A1 (A gagne la première partie), et nous voulons que A perde la première partie, B perde la deuxième partie, etc. Comme les parties sont indépendantes, la probabilité de l'intersection des complémentaires est le produit des probabilités de chaque partie. Cependant, B joue seulement les parties paires, donc la probabilité recherchée est le produit des probabilités de B perdant chaque partie paire.

Nous simplifions ensuite cette expression en remplaçant chaque probabilité par son complément, c'est-à-dire 1-A et 1-B, élevé à la puissance N. Cette probabilité représente donc la probabilité que personne ne gagne après 2N parties.

Ensuite, nous cherchons la probabilité que A ou B gagne le jeu. La probabilité que A gagne est la somme des probabilités de chaque partie qu'il gagne. On factorise A et par la suite, en utilisant la formule d'une somme de suite géométrique, nous obtenons une expression de la probabilité que A gagne en fonction de A, B, et N.

Nous effectuons le même raisonnement pour la probabilité que B gagne. En utilisant le fait que la somme des probabilités de gagner pour A, B et le match nul est égale à 1, nous pouvons exprimer la probabilité que B gagne en fonction de A, B et N.

Finalement, pour que le jeu soit équilibré, il faut que la probabilité que A gagne soit égale à la probabilité que B gagne. Après simplification, nous obtenons la condition d'équilibre : A = B - AB.

Cela résume les principales idées traitées dans cet exercice sur l'indépendance et l'équilibre entre deux joueurs dans un jeu.

Salut, bienvenue dans cet exercice de ProBas sur principalement l'indépendance. Le contexte, on a deux joueurs A et B qui s'affrontent autour d'un jeu. Chacun va jouer une partie l'un après l'autre. A commence, ensuite c'est B, ensuite c'est A, etc. Il y a au plus de N parties qui sont jouées. Le premier qui gagne, il a gagné l'ensemble du jeu. C'est important, il a gagné l'ensemble du jeu, donc on considère qu'il a gagné toutes les parties. On suppose que A a une probabilité a de gagner. Entre 0 et 1, exclu bien sûr, sinon ce ne serait pas marrant. S'il est sûr de perdre ou sûr de gagner, ce ne serait pas marrant. Et B a une probabilité b de gagner. On suppose aussi que les parties sont indépendantes les unes des autres. Première question, quelle est la probabilité que ni A ni B ne gagnent ? En gros, qu'il n'y ait aucun des deux qui gagne au bout de 2N parties. On va noter, AK, c'est le joueur A qui gagne à la quatrième partie. B, le joueur B qui gagne à la quatrième partie. Ce qu'on cherche, c'est la probabilité de l'intersection des complémentaires. Cela veut dire que A1 ne se réalise pas. Ensuite, vu que c'est A qui joue la première partie, on veut que A perde à la première partie, B perde à la deuxième partie, etc. On veut que B perde à la dernière partie. Les événements sont indépendants, leurs complémentaires aussi. La probabilité de l'intersection des complémentaires, c'est le produit des probabilités de chacun. Mais B joue que les parties paires. On aura P2K et A2K-1. C'est le produit de K qui va de 1 à N de ces probabilités-là que je viens de dire. Ensuite, ce qu'on veut, c'est avoir une écriture un peu plus précise. On va tout simplement remplacer chaque probabilité par 1-A, 1-B et puissance N, parce que chaque partie a la même probabilité de gagner qu'une autre. La probabilité de perte pour chaque partie, c'est 1-A. 1-A puissance N, 1-B puissance N, pour la probabilité que personne ne gagne au bout de 2N parties. Ensuite, quelle est la probabilité que A gagne ou que B gagne ? La probabilité que A gagne, c'est soit qu'il gagne à la première partie, soit qu'il gagne à la troisième, soit qu'il gagne à la cinquième, etc. C'est l'union à chaque fois de la partie qu'il gagne. Soit qu'il gagne à la dernière qu'il joue, donc à 2N-1. Sauf que si on regarde un cas donné, la probabilité de cette intersection, c'est A, parce qu'il y a un A qui est réalisé, fois 1-A puissance K-1, fois 1-B puissance K-1 aussi. Donc la probabilité que A gagne, c'est la somme de ces probabilités-là. C'est A fois la somme, là on ne factorise pas A, pour K égale 0 à N-1, de 1-A puissance K, fois 1-B puissance K. Et ça, c'est une suite géométrique, ça on voit comme une suite géométrique. Donc ça nous fait A fois 1-A puissance N, fois 1-B puissance N, sur A plus B, moins AB. Si vous n'êtes pas convaincu, il suffit de l'écrire, avec la formule d'une somme d'une suite géométrique. Alors ici, il n'y aurait pas le cas, si on voulait le voir comme une somme de suite géométrique, la raison serait 1-A fois 1-B. Sinon, c'est juste une somme des termes d'une suite géométrique, avec le petit A devant qui traîne. Maintenant, on cherche la probabilité que B gagne. On pourrait faire le même raisonnement, on pourrait, sauf que là, on sait que la probabilité que A gagne, plus la probabilité que B gagne, plus la probabilité du match nul, c'est égal à 1, parce qu'il n'y a rien d'autre comme possibilité. Donc la probabilité que B gagne, c'est 1-la probabilité du match nul, moins la probabilité que A gagne. Donc, on fait une grosse fraction, on met tout sous le même dénominateur, et on calcule. Donc on se retrouve avec tout ça. Je ne vais pas détailler, parce que c'est que du calcul, ce n'est pas très intéressant. Mais globalement, il y a des choses qui vont se simplifier. On se retrouve avec B-AB, moins B-AB fois 1-A puissance N, fois 1-B puissance N, sur A plus B moins AB. Là, on peut factoriser par ça. Et on se retrouve avec B-AB, facteur de 1-A puissance N, fois 1-B puissance N, sur A plus B moins AB. Voilà. Ce n'est pas forcément facile à lire ça et à voir ce qui se passe, mais on se retrouve avec ce résultat-là pour la probabilité que B gagne. Alors, dernière question, on nous dit à quelles conditions le jeu est-il équilibré ? Bon, clairement, le jeu est équilibré si chacun a autant de chances de gagner que l'autre. Donc le jeu est équilibré si et seulement si la probabilité que A gagne est égale à la probabilité que B gagne. Donc ça veut dire, après simplification de ce qui se passe entre cette écriture et cette écriture, on voit qu'on a le même quotient ici que là, et donc la seule différence, c'est petit a et B-A. Si on a l'égalité, on simplifie. Il faut que A soit égale à B-AB. C'est la seule condition pour que le jeu soit équilibré.

Jeu équitable

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