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Maths SM&SP

Algèbre

Variable aléatoire et binomiale

Ce cours concerne les produits défectueux en usine et leurs tests. On a une usine avec deux tests indépendants. La probabilité qu'un produit défectueux passe le premier test est de 0.12 et de 0.08 pour le deuxième test. Pour qu'un produit défectueux soit mis en vente, il doit passer les deux tests. La probabilité de vente est donc de 0.12 * 0.08 = 0.0096 (soit moins de 1%).

Ensuite, on nous demande la probabilité qu'au moins trois produits défectueux soient mis en vente sur 100 produits indépendants. On utilise la loi binomiale avec comme paramètre 100 et une probabilité de vente de 0.0096. On calcule la probabilité complémentaire de moins de trois ventes, qui est égale à 1 moins la probabilité de 0, 1 et 2 ventes. On obtient 38% de chance de ne pas avoir de produit défectueux en vente, 36% de chance d'avoir un produit en vente défectueux et 18% de chance d'en avoir deux. La probabilité d'avoir trois ou plus de produits défectueux en vente est de 7%.

Les formules utilisées sont les formules classiques de la loi binomiale : K parmi N, fois la probabilité à la puissance K, fois 1 moins la probabilité à la puissance N moins K.

Grand classique maintenant sur les produits défectueux en usine, vous l'aurez sous plein plein de formes, les tests de produits défectueux. Donc là on a une usine où il y a deux tests qui sont indépendants, mot-clé très important au probat, quand on voit indépendant, il faut que ça fasse tilt, indépendant. La probabilité qu'un produit défectueux passe le premier test est de 0.12, s'il passe le deuxième test c'est de 0.08 et s'il passe les deux tests il est vendu sinon il est détruit. Première question, c'est quoi la probabilité qu'un produit défectueux soit mis en vente ? On va utiliser les notations suivantes pour un produit défectueux, l'événement V c'est que le produit défectueux est mis en vente, T1 le produit défectueux passe le premier test, T2 le produit défectueux passe le deuxième test, donc pour qu'il soit en vente il faut qu'il passe les deux tests. Donc la probabilité de la vente c'est finalement P2T1 inter T2 et comme ils sont indépendants, très important, P2T1 inter T2 ça fait P2T1 fois P2T2, donc je fais le calcul et ça fait moins de 1% de chance, c'est 0.96%. Ensuite on nous demande sur 100 produits défectueux indépendants quelle est la probabilité qu'au moins 3 soient mis en vente ? Donc là on remarque notre schéma de Bernoulli, on a une répétition de 100 expériences identiques indépendantes avec deux issues, c'est quoi ces deux issues ? C'est vente, réussite, bon j'aurais pu faire le contraire mais moi j'appelle la réussite la vente donc du coup la probabilité associée c'est 0.0096 et destruction l'échec. Si je compte X, la variable aléatoire qui compte le nombre de ventes, de produits vendus, du coup X suit une loi binomiale de paramètre 100, 0.0096. Là vous voyez, bon ça se discute, est-ce que le fait que ce soit vendu c'est une réussite ? Je pense pas trop quand même, mais bon, peu importe, c'était plus simple comme on doit avoir trois produits en vente, moi j'ai appelé la réussite la vente, mais peu importe si philosophiquement c'est pas le cas du tout. Donc P2X superieur à 3 ça fait 1 moins P2X strictement inférieur à 3 et donc ça fait 1 moins P2X égal 0 moins P2X égal 1 moins P2X égal 2 puisque P2X inférieur ou égal à 3, non pardon, strictement inférieur à 3, c'est la réunion de trois événements X égal 0, X égal 1, X égal 2. Donc je fais mes petits calculs, je fais le calcul de P2X égal 0, je trouve que ça fait 38% de chance, on a quand même beaucoup de chance de ne pas avoir produit défectueux en vente, ensuite 36% de chance quand même d'avoir un produit en vente défectueux et 18% de chance pratiquement d'avoir deux produits en vente défectueux. Donc finalement la probabilité qu'il y ait plus de trois produits, enfin trois ou plus produits en vente défectueux elle est de 7%. Pour les formules évidemment j'ai appliqué la formule classique de K par mille n, K par mille n, fois P à la puissance K et 1 moins P à la puissance N moins K à chaque fois. Formule que maintenant vous maîtrisez évidemment totalement.

Classique : produit défectueux en usine

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Espérance et écart-type : graphique