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Maths SM&SP

Algèbre

Variable aléatoire et binomiale

Dans ce cours, nous utilisons un arbre pondéré pour calculer des probabilités d'événements. Nous avons des informations sur les probabilités et nous essayons d'en déduire d'autres. 

Nous savons que Naomi se rend au lycée en vélo ou en bus. Lorsqu'il fait beau, elle prend le vélo 8 fois sur 10, et quand il fait moche, elle prend le vélo 5 fois sur 10. De plus, il y a 75% de journées ensoleillées dans sa ville.

Nous prenons une journée au hasard sans savoir s'il fait beau ou non, et nous voulons déterminer la probabilité que Naomi se rende en vélo (P de V) et la probabilité qu'elle se rende en vélo sachant qu'il fait beau (P de E inter V).

Pour cela, nous construisons un arbre pondéré avec les branches "ensoleillé" ou "pas ensoleillé" et "vélo" ou "pas vélo". Nous déterminons les probabilités associées à chaque nœud en utilisant les informations données.

Ensuite, nous calculons P de E inter V en utilisant la formule P de E x P de V sachant E (où E représente ensoleillé). Dans ce cas, il y a 60% de chance qu'il fasse beau et qu'elle prenne le vélo.

Enfin, nous calculons P de V en utilisant la formule des probabilités totales, en considérant les chemins où Naomi prend le vélo. Dans ce cas, il y a 72.5% de chance qu'elle prenne le vélo.

Cela résume les calculs de probabilités effectués à l'aide d'un arbre pondéré dans ce cours.

Alors ici on va faire des petits calculs de probabilités d'événements de façon très classique pour commencer sur les probars en utilisant un arbre pondéré. On aura certaines infos sur les probabilités, on va essayer d'en déduire d'autres. Là ce qu'on nous dit c'est que Naomi pour se rendre au lycée sera en vélo ou en bus et ce qu'on sait c'est que quand il fait beau elle prend le vélo 8 fois sur 10. Quand il fait moche, elle prend le vélo 5 fois sur 10. Et en plus, dans la ville où elle habite, il y a 75% des journées qui sont ensoleillées. Donc on va prendre une journée au hasard, on ne sait pas s'il fait beau ou s'il ne fait pas beau et on veut déterminer P de E inter V et P de V. Donc là ce qu'il faut c'est essayer de traduire tout ça d'abord première étape, par un arbre pondéré on va pouvoir écrire les probabilités deux, on va déterminer ces probabilités sur chaque nœud et sur celles manquantes et grâce à ça on va pouvoir en déduire l'événement chargé sur les branches et on va pouvoir en déduire la probabilité associée. On va faire étape par étape, je construis mon arbre pondéré soit c'est ensoleillé, soit c'est pas ensoleillé soit vélo, soit pas vélo. C'est assez simple, et là pareil soit vélo, soit pas vélo. Maintenant ce qu'il faut c'est écrire les probabilités associées donc la probabilité que ce soit ensoleillé, on nous la donne c'est 0.75, donc forcément la probabilité qu'il ne fasse pas beau, pas ensoleillé c'est 0.25, donc jusque là ça va. Ensuite, ce qu'on dit c'est que sachant que c'est ensoleillé j'ai 0.8, 80% de chance que Nami prenne le vélo donc je considère l'événement contraire qui est que Nami ne prenne pas le vélo forcément c'est 20% de chance idem, on dit qu'elle prend le vélo s'il fait pas beau avec 50% de chance, c'est à dire que 50% de chance elle prend le bus aussi. Donc là j'ai tous mes probas maintenant et je peux compléter mon arbre. Donc là je suis à 0.75, 0.25, 0.8, 0.2, 0.5, 0.5 je vérifie toujours de chaque branche que la somme fasse toujours 1 ça doit faire toujours 1 et là ce qu'on cherche maintenant c'est P de E inter V alors il faut bien faire la différence parce que parfois les élèves ont un peu du mal P de E inter V et P de V sachant E c'est pas du tout la même chose P de E inter V c'est à dire que c'est la probabilité qu'à la fois il fasse beau et à la fois je prenne le vélo alors que P de V sachant E c'est à dire que sachant qu'il fait beau c'est ensoleillé, c'est quoi la probabilité que je prenne le vélo ? Forcément cette probabilité là sera toujours supérieure à celle là Pourquoi ? Parce que là justement dans tous les cas je sais qu'il fait ensoleillé alors que là il faut qu'à la fois il fasse ensoleillé et à la fois je prenne le vélo donc forcément c'est pas la même chose donc là j'applique bêtement la formule P de E inter V ça fait P de E x P de V sachant E pour pas que vous trompiez, moi je trouve qu'il y a un moyen mnémotechnique assez simple, c'est que les deux E sont côte à côte ils se regardent, parfois les élèves intervertissent ces deux lettres en fait le E il est là et il est là, ils sont côte à côte donc ça fait 0.75, 3.08 ça fait 0.6 donc il y a 60% de chance qu'à la fois il fasse beau et à la fois elle prenne le vélo maintenant on cherche la probabilité qu'elle fasse du vélo donc là ce qu'il faut faire c'est la formule des probabilités totales on voit en fait sur l'arbre, on cherche les chemins où elle fait du vélo donc il y a celui-ci et il y a celui-là et donc j'utilisais la formule des probabilités totales qui est P de V ça fait P de E x P de V sachant E pareil les deux E se regardent et x P de E bar x P de V sachant E bar pareil les deux E bar sont côte à côte donc là j'applique la formule ce qui correspond en fait sur mon arbre probabilité je le voyais directement 0.75 x 0.8 plus 0.25 x 0.5 en fait je le voyais sur mon arbre 0.75 x 0.8 plus 0.25 x 0.5 et donc quand je fais la somme je trouve que ça fait 72.5% de chance qu'elle prenne le vélo donc voilà pour cette méthode sur les premières méthodes sur les calculs de probabilités avec un arbre pondé

Utiliser un arbre pondéré

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