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Théorème de Rolle
Bienvenue à tous ! Dans ce cours, nous allons voir comment bien utiliser le théorème de Rolle en SEO friendly.
Le théorème de Rolle est utilisé lorsque l'on souhaite montrer que la dérivée d'une fonction s'annule au moins une fois sur un intervalle donné.
Pour cela, on considère une fonction f définie sur un intervalle i, de classe Cn, et qui s'annule en n plus un point distinct de i.
La première méthode pour démontrer cela est par récurrence. On montre ainsi que la dérivée km s'annule n plus une moins k fois au moins sur i.
Dans cette démonstration, on applique le théorème de Rolle sur des intervalles spécifiques, ce qui permet de montrer que la dérivée s'annule au moins une fois sur ces intervalles.
On peut continuer ainsi jusqu'à obtenir que la dérivée enième de f s'annule au moins une fois.
Dans la seconde partie du cours, on aborde une astuce un peu plus complexe. On pose une fonction h qui est le produit de f par l'exponentielle de alpha x.
En dérivant cette fonction, on obtient f' + alpha f fois l'exponentielle de alpha x.
L'astuce ici est que, comme l'exponentielle est toujours positive, si h s'annule au moins une fois, cela signifie que le terme f' + alpha f s'annule lui aussi au moins une fois.
Ainsi, on peut appliquer le théorème de Rolle sur h prime et montrer que la dérivée enième de f' + alpha f s'annule au moins une fois.
Voilà comment bien utiliser le théorème de Rolle dans des exercices, en utilisant ces petites astuces pour démontrer que les dérivées s'annulent sur les intervalles donnés.
