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Algèbre

Loi usuelles, groupes

Dans cette vidéo, Quentin aborde des questions basiques sur un ensemble R privé de 1, et une loi appelée étoile. 
Il commence par analyser si cette loi est associative et commutative. En effectuant les calculs nécessaires, il prouve que la loi étoile est à la fois associative et commutative. 

Ensuite, il se demande si cette loi admet un élément neutre. En étudiant l'équation x étoile E = x, il simplifie les calculs et conclut que l'élément neutre pour la loi étoile est égal à 0. 

La troisième question porte sur l'existence d'un inverse pour un réel x par rapport à cette loi. En résolvant l'équation x étoile A = 0, il trouve que l'inverse de x existe si x est différent de 1, et cet inverse est égal à x divisé par x moins 1. 

Enfin, il aborde la question de la puissance n-ième avec cette loi étoile. Il calcule les premières puissances pour comprendre la formule explicite. En observant les résultats obtenus, il trouve la formule de récurrence : x puissance n est égal à 1-1-x puissance n. Cependant, il insiste sur le fait que cette puissance n'est pas la même que celle utilisée au collège. 

En conclusion, Quentin a démontré que la loi étoile est associative, commutative et admet un élément neutre. De plus, pour un réel x, il existe un inverse si x est différent de 1, et il a également trouvé une formule explicite pour la puissance n-ième avec cette loi étoile.

Salut à tous, c'est Quentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui pour un exercice vraiment proche de notre cours d'algebra général puisqu'il va vraiment nous poser des questions basiques, commutativité, associativité, inversibilité, sur un ensemble, qui est ici R privé de 1, mais d'une loi, qui est ici étoile, et qui a x et y dans R privé de 1, associé x plus y moins x fois y. Alors commençons tout de suite par la première question qui nous demande si cette loi est associative et ou commutative. Commençons tout de suite. Pour l'associativité, c'est toujours la même chose. Soit x, y, z dans R privé de 1. On calcule x étoile y entre parenthèses étoile z. On mène nos calculs à leur terme. On remarque que c'est égal à cette chose-là. Et d'autre part, on calcule x étoile y étoile z. On mène nos calculs à leur terme. On remarque que c'est égal à cette chose-là. C'est la même chose. Les deux choses sont égales. On en conclut donc que étoile est associative. Montrons dans un second temps que cette loi est aussi commutative. Pourquoi ? On remarque que x étoile y est égal à x plus y moins x fois y, par définition de étoile, mais par commutativité de plus et de fois dans R. En effet, dans R, on a le droit de dire que a plus b est égal à b plus a, et que a fois b est égal à b fois a. R est commutatif. On a le droit de permuter, comme je viens de vous le dire. On permute pour l'addition et pour la multiplication. Ça, c'est exactement y étoile x. Conclusion, étoile est aussi commutative. Passons à présent à la question 2, qui nous demande si étoile admet un élément neutre. Soit donc E vérifiant x étoile E est égal à x, par définition de l'élément neutre. Je remplace. Ça revient à me demander si trouver un E qui vérifierait x plus E moins x fois E est égal à x. Je simplifie. Je trouve que c'est égal à E fois 1 moins x, et que ça c'est égal à 0. Or, puisqu'on est dans R privé de 1, puisque x appartient à R privé de 1, ça c'est différent de 0. On en conclut donc que la seule possibilité c'est que l'élément neutre soit égal à 0. Donc étoile admet 0 pour l'élément neutre. Passons à présent à la question 3, qui nous demande si un réel x admet un inverse pour cette loi. Encore une fois, c'est toujours un peu la même chose. Vous allez voir dans les exercices précédents, mais aussi dans les exercices suivants, c'est un peu toujours le même formalisme au début. Après, les calculs diffèrent, bien entendu. Au début, on pose toujours un A qui vérifie x étoile A est égal au neutre. Ici, 0. On remplace, x plus A moins x fois A est égal à 0. Je simplifie, j'isole A. Ici, A est notre inconnu, x est notre paramètre. Et je trouve que A est égal à x divisé par x moins 1. Et ça, j'ai le droit de le faire puisque x est différent de 1. Passons à présent à notre dernière question, notre dernière petite question, qui nous demande de calculer, de nous donner une formule explicite pour la puissance n-ième. Et attention, j'attire votre attention, encore une fois, sur le fait que la puissance n-ième, donc x puissance n, ce n'est pas x puissance n comme on l'entend depuis le collège. C'est x étoile x étoile x, et ce, n fois. J'insiste là-dessus, mais on le voit directement ici. Moi, ce que je fais, quand on me demande une formule explicite pour quelque chose, soit une dérivée n-ième, soit une puissance n-ième, je calcule pour des petites valeurs de n, déjà, pour me faire une idée. Ici, je calcule x puissance 2. Et là, encore une fois, j'insiste, ce n'est pas x au carré, c'est x étoile x. Je calcule, je trouve que ça fait 1-1-x au carré. x puissance 3, encore une fois, je calcule, c'est égal à 1-1-x au carré fois 1-x. Ça, c'est égal à 1-1-x au cube. Bingo, j'ai trouvé ma formule de récurrence, enfin, ma formule explicite pour la puissance n-ième. Et ça, je vous invite à le montrer par récurrence, vous savez le faire maintenant que vous êtes en prépa. On trouve que x puissance n est égal à 1-1-x puissance n. Avec ici, attention, puissance n-ième comme on l'entend dans R, c'est-à-dire vraiment une puissance n-ième. Ici, on est dans R, et ici, on est dans notre R muni de notre étoile. Dans notre groupe, on est dans notre R étoile. Et ici, on le verra plus tard, on est dans R muni de plus et de fois, donc le R qu'on connaît depuis le début. J'insiste, ici, c'est 1-x fois 1-x, et ce n fois. Et ici, c'est x étoile x n fois. Pas la même chose, OK ? Faites gaffe. Merci à tous.

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