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Loi usuelles, groupes

Dans cette vidéo, Corentin explique ce qu'est un groupe dans le contexte d'un ensemble E muni d'une loi interne associative et ayant un élément neutre à gauche. Il explique que pour prouver que E est un groupe, il faut également montrer que cet élément neutre à gauche est aussi un élément neutre à droite et que chaque élément possède un inverse à gauche et à droite. 

Il commence par montrer que l'associativité et l'internalité de la loi étoile sont données dans l'énoncé. Ensuite, il utilise des inverses à gauche respectifs pour montrer que si yx est égal à E, alors xy est aussi égal à E. 

Ensuite, il démontre que l'élément neutre à gauche est unique en supposant l'existence d'un autre élément neutre à gauche F, mais montre ensuite que F est égal à E. 

Enfin, il démontre que l'élément neutre à gauche est aussi un élément neutre à droite en utilisant l'associativité et le fait que l'inverse à gauche est aussi l'inverse à droite. Il conclut en réaffirmant que toutes les hypothèses sont réunies pour montrer que E est bien un groupe.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice que personnellement j'aime bien puisqu'il vous demande de vous plonger vraiment en profondeur sur ce qu'est un groupe. Alors commençons tout de suite par la lecture d'énoncé. Soit E un ensemble muni d'une loi étoile interne associative et admettant un élément neutre à gauche et tel que tout élément possède un inverse à gauche. Nous ce qu'on veut montrer c'est que E est un groupe pour la loi étoile. Alors l'associativité et le fait qu'étoile soit interne on l'a d'après l'énoncé, très bien. Maintenant ce qu'on veut montrer c'est que cet inverse à gauche c'est aussi un inverse à droite parce qu'on a besoin de ça pour que E soit un groupe. Très bien, soit x prime et y prime les inverses à gauche respectives de xy. Donc si yx est égal à E, xy, moi ce que j'ai envie de faire c'est de multiplier à gauche par y prime y, ça c'est égal à E donc puisque E c'est un élément neutre à gauche, ça ne change rien, on a le droit de le faire. Ensuite puisque étoile est associative j'ai le droit de commencer par calculer ces choses là à l'intérieur. Ça c'est égal à E par hypothèse mais y prime y c'est aussi égal à E par hypothèse. Conclusion, xy est lui aussi égal à E. Maintenant ce qu'on va vouloir faire c'est montrer que l'élément neutre à gauche est unique et puis ensuite on va vouloir montrer que cet élément neutre à gauche c'est aussi l'élément neutre à droite. Et là on aura enfin toutes les hypothèses réunies pour que E soit un groupe. Donc très bien, soit F et E, deux éléments neutres à gauche. Ça c'est vraiment la rédaction classique pour montrer l'unicité donc on prend deux choses et on va vouloir montrer que ces deux choses sont égales. On a F fois E qui est égal à E par hypothèse sur F. Mais alors d'après le point précédent on a aussi E fois F qui est égal à E. Et puisque E est un élément neutre à gauche, on a E fois F qui est égal à F. Mais du coup F est égal à E. Ensuite on va vouloir montrer que l'élément neutre à gauche c'est aussi un élément neutre à droite, je vous en ai parlé tout à l'heure. Très bien, soit x appartenant à E, on sait que x fois E c'est égal à x fois x prime fois x. Avec x, l'inverse de x prime. Mais ça encore une fois par associativité j'ai le droit de dire que c'est égal à x fois x prime fois x. On sait que ça c'est égal à E puisque on sait maintenant que l'inverse à gauche c'est aussi l'inverse à droite. Et du coup conclusion x fois E est égal à x. Conclusion, E c'est aussi un élément neutre à droite. Conclusion, on a analysé en profondeur, on a vu que cet élément neutre à gauche il était aussi neutre à droite, il était unique et on a montré que l'inverse à gauche était aussi l'inverse à droite. Conclusion, on a toutes les hypothèses qui sont réunies à présent et E est bien un groupe. Merci à tous.

Neutre et inverse

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