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Etude de permutations
Dans cette vidéo, Corentin nous présente un exercice de mathématiques portant sur l'arithmétique et les structures algébriques. L'objectif est de démontrer qu'un certain ensemble, noté A, est un anneau, et de déterminer ses éléments inversibles.
Au départ, Corentin souhaite montrer rapidement que A est un sous-anneau de Q (les nombres rationnels). Pour cela, il considère deux éléments X et Y appartenant à A et calcule X - Y et X * Y. Il démontre que les dénominateurs de ces opérations sont impairs, ce qui montre que ces opérations sont stables dans A.
Ensuite, Corentin prouve que l'élément 1 appartient à A, car il peut être exprimé comme une fraction à dénominateur impair. Il conclut donc que A est bien un sous-anneau de Q, donc un anneau.
Enfin, Corentin s'intéresse aux éléments inversibles de A. Il considère un élément X appartenant à A et cherche son inverse Y. Il montre, en utilisant des calculs dans R (les nombres réels), que Y doit être égal à 1/X. La difficulté réside dans le fait de déterminer si cette inverse Y appartient toujours à A, qui est un ensemble de fractions à dénominateur impair.
Après quelques calculs, Corentin trouve la condition nécessaire pour qu'un élément X appartenant à A ait un inverse Y dans A : X doit être une fraction M/N, où M et N sont des nombres impairs.
Pour résumer, les éléments de A sont des fractions à dénominateur impair, ce qui en fait un sous-anneau de Q. Les éléments inversibles de A sont les fractions ayant un numérateur impair et un dénominateur impair, représentées par M/N où M et N sont des nombres impairs.
