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Anneaux corps

Dans cette vidéo, Corentin aborde le concept de morphismes d'anneaux et démontre deux résultats. Tout d'abord, il montre que si K et L sont deux corps et F est un morphisme d'anneaux de K dans L, alors pour tout X appartenant à K privé de 0, F de X est inversible. Il explique ensuite comment déterminer l'inverse de F de X. Ensuite, Corentin souhaite montrer que tout morphisme de corps est injectif. Il rappelle une propriété selon laquelle un morphisme de corps est injectif si son noyau est réduit à 0. Il démontre alors que si F de X est égal à 0, alors X est égal à 0, ce qui montre que le noyau de F est réduit à 0 et donc que F est injectif.

Salut à tous, c'est Corentin ! Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui autour d'un exercice assez intéressant à maîtriser si vous voulez commencer à appréhender les morphismes d'anneaux. Alors commençons tout de suite par la lecture de l'énoncé. Soit K et L deux corps et soit F allant de K dans L un morphisme d'anneaux. On veut démontrer que si X appartient à K privé de 0, alors F de X est inversible, puis on veut déterminer son inverse. Dans un second temps, on voudra en déduire qu'un morphisme de corps est toujours injectif. Alors commençons tout de suite par un rappel qui est la définition d'un morphisme d'anneaux. Soit A et B deux anneaux. On appelle morphisme d'anneaux toute application qui va de A dans B qui vérifie F de X plus Y est égal à F de X plus F de Y et F de X fois Y est égal à F de X fois F de Y. Très bien, à partir de là, soit X appartenant à K privé de 0. Alors, puisque K est un corps, il existe X moins 1, tel que X fois X moins 1 est égal à 1 sur K. Autrement dit, X est inversible. Je compose les deux côtés par F. Je sépare ici puisque F est un morphisme d'anneaux et je sais que F de 1K est égal à 1L et j'en déduis donc que F de X est inversible d'inverse F de X moins 1. Attention ici à ne pas sortir le moins 1 en dehors puisque c'est précisément ce qu'on est en train de montrer. Ce serait une grosse erreur. Passons à présent à la question 2. Soit F, voilà ce que je vous propose, c'est un rappel, une propriété qui nous dit que pour F, un morphisme de corps, F est injectif si son noyau est réduit à 0. Très bien, soit donc X appartenant à K tel que F de X est égal à 0. Alors, F de X n'est pas inversible puisqu'on sait précisément que les inversibles sur L, c'est L privé de 0L. Mais d'après la question précédente, c'est donc que X n'appartient pas aux inversibles sur K. Mais ça, c'est précisément dire que X est égal à 0K. Puisque X n'appartient pas à K privé de 0K, c'est dire que X appartient à 0K. C'est le complémentaire. Ainsi, on vient de prouver que si F de X est égal à 0L, eh bien X est égal à 0K. C'est précisément l'application directe de cette propriété-là. C'est donc que F est injectif.

Anneaux, éléments nilpotents

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