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Antonin, un professeur de maths spécialisé dans la préparation des étudiants aux universités américaines, explique un exercice du MIT. L'exercice consiste à calculer l'intégrale d'une expression comprenant des puissances et des variables. Antonin recommande de ne pas être intimidé par les termes compliqués et propose une stratégie pour aborder l'exercice. Il identifie certaines parties de l'expression comme des blocs distincts, ce qui facilite leur analyse. En donnant un nom à l'un de ces blocs, Antonin remarque une connexion entre une fonction U et sa dérivée, ce qui est utile pour résoudre l'exercice. Il applique ensuite une formule qui relie la dérivée d'une puissance U2X à la valeur alpha de cette puissance. En utilisant cette formule, Antonin détermine la valeur alpha originelle et obtient une forme simplifiée de l'expression. En intégrant cette forme simplifiée, il trouve la réponse finale de l'exercice. La solution est exprimée comme une intégrale de la primitive de l'expression entre 0 et 1, ce qui donne un résultat final de 8 racines de 2 moins 3 racines de 3. Antonin conclut en espérant que cette explication a été utile et propose de retrouver ses prochaines vidéos.

Bonjour à tous, je m'appelle Antonin, je suis prof particulier de maths et une de mes spécialités c'est de préparer mes élèves à l'entrée aux facs américaines. Aujourd'hui, un exercice tombé au MIT. La meilleure manière de commencer cet exercice du MIT, c'est de bien se poser et de ne pas se laisser impressionner par la mocheté des différents termes. Donc on a du X3, on a du X4, il faut calculer l'intégral de tout ça et on a une petite puissance 1,5. La puissance 1,5 c'est juste une autre écriture pour racine, donc rien de bien inquiétant. Donc si on pose un peu le tout, on se rend compte qu'on a du X3, la racine de X4 plus 3, la première chose qu'il faut faire c'est réussir à analyser les différentes parties comme des blocs. Donc si je prends le bloc X4 plus 3 et je donne un petit nom, U2X, tout de suite, je me rends compte de manière assez intéressante qu'en fait le X3 va être lié à ce bloc X4 plus 3. Et dans les exercices d'intégral, on va souvent chercher un lien entre une certaine fonction U et une fonction U', parce qu'on a beaucoup, beaucoup de formules au programme de primitive qui mélangent du U' et du U'. Il se trouve que quand vous fixez l'objet X4 plus 3 comme une fonction U, vous vous rendez compte que sa dérivée c'est 4 fois le X3 qui est juste devant. Et donc si je réécris un peu tout ça, X3 devient 1 quart de U' de X, ici, et U2X puissance 1,5, c'est juste l'écriture de cette chose là. Ça c'est parfait, on est très content parce qu'une fois qu'on a trouvé ça, on est bon. Il suffit de se rappeler, dans le cours on sait que U2X puissance quelconque alpha le tout dérivée égale alpha fois U'2X fois U2X puissance alpha moins 1. Et donc si on analyse la situation qu'on a ici, on a du U' du U2X puissance 1,5. Pour savoir de quel alpha on parle, on se rend compte que notre alpha moins 1, équivalent à cette situation, ici serait 1,5. Comme on détecte en identifiant les deux formules que 1,5 c'est alpha moins 1, on en déduit que le alpha originel sera 3,5. Alors on peut écrire UX puissance 3,5 le tout dérivée, ça ça va être égal. 3,5 de U'2X fois U2X puissance 1,5. C'est parfait, ça me donne accès à une formule simple pour la partie ici, U' fois U2X puissance 1,5. Donc tout ce que je peux faire c'est écrire que mon 1,4 U' U2X puissance 1,5 est égal à quoi ? 1,4 fois, le 3,5 ici je le passe de l'autre côté, 2 tiers de UX puissance 3,5 le tout dérivée. Quand j'ai ça, c'est facile d'intégrer. La dernière partie c'est donc juste de faire le calcul. Je peux poser mon intégrale, je remplace mon intégrale Y qui était l'intégrale entre 0 et 1 de toute cette chose là, par l'expression simplifiée que je viens de trouver. Et donc 1,4 fois 2 tiers simplement ça fait 2 sur 4, 1 sur 2, 1 sixième. Y devient 1 sixième intégrale de 1 sixième de U2X puissance 3,5 prime. Donc U2X c'est X4 plus 3 puissance 3,5 prime. Or l'intégrale c'est la primitive, la primitive d'une dérivée c'est la fonction elle-même, et là ça va être tout simple, c'est donc 1 sixième de la primitive avec les crochets de la primitive, X4 plus 3 puissance 3,5 entre 1 et 0. Quand X vaut 1 je trouve 4 puissance 3,5, quand X vaut 0 je trouve 0 plus 3, 3 puissance 3,5. Puissance 3,5 on peut l'écrire comme puissance 1,5 fois puissance 1, donc ça me fait 4 racines de 4 moins 3 racines de 3. Je simplifie un petit peu, 4 racines de 4 c'est 4 fois 2, 8 moins 3 racines de 3. Voilà comment faire cet exercice du MIT. J'espère que ça vous a éclairé et je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Une intégrale facile en Terminale ?

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