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Aire sous une courbe !
Bonjour à tous ! Aujourd'hui, je vais vous résumer un cours sur un exercice du MIT concernant le calcul d'une intégrale. Tout d'abord, l'énoncé demande de trouver l'aire sous la courbe définie par la fonction log de X au cube sur X, située au-dessus de l'axe OX et à gauche de la ligne verticale X=2.
Pour résoudre cet exercice, nous devons effectuer deux étapes. La première consiste à comprendre à partir de quel point nous devons commencer à calculer notre intégrale, et la deuxième étape consiste simplement à effectuer le calcul lui-même.
La fonction log de X est définie pour les réels strictement positifs, donc l'ensemble de définition de cette fonction est R+*. Nous devons donc trouver le point à partir duquel la courbe est positive. Nous pouvons déterminer cela en étudiant la positivité de log de X au cube. Nous constatons que log de X au cube est positif si et seulement si log de X est positif. Puisque nous connaissons les variations de log de X, nous savons que cette fonction est positive pour les valeurs de X strictement supérieures à 1.
Maintenant que nous avons déterminé le point de départ de notre intégrale, nous pouvons l'écrire sous la forme suivante : l'intégrale de log de X au cube fois 1 sur X, entre 1 et 2. Nous remarquons que 1 sur X est la dérivée de log de X. Ainsi, nous pouvons appliquer la formule classique de l'intégrale. En posant u=log de X, nous obtenons une structure de la forme u au cube fois u prime. Nous savons que l'intégrale de cette primitive est u puissance 4 divisé par 4. En appliquant cette formule, nous obtenons comme résultat log de 2 puissance 4 divisé par 4 au point 2, et log de 1 qui est égal à 0 au point 1.
Finalement, nous trouvons que l'aire sous la courbe, au-dessus de l'axe OX et à gauche de la ligne X=2, est égale à log de 2 puissance 4 divisé par 4. J'espère que ce résumé SEO-friendly était clair et je vous dis à bientôt pour une prochaine vidéo !
