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Trouver un polynome dont √7-√3 soit racine !
Dans cet exercice, l'objectif est de trouver un polynôme avec des coefficients entiers qui a pour racine la quantité "racine de 7 moins racine de 3". On cherche donc un polynôme de degré n, de la forme "p2x = a0 + a1x + a2x² + ... + anx^n", où les coefficients a0, a1, a2, ..., an sont des entiers.
On souhaite donc trouver un degré de polynôme pas trop élevé, car si la réponse est un polynôme de degré 850, cela ne sera pas possible. On espère donc trouver un polynôme de degré 2 qui combine les carrés et les puissances non-carrées de la quantité "racine de 7 moins racine de 3" de manière à ce que le tout soit égal à zéro.
En effectuant quelques calculs, on trouve que (racine de 7 moins racine de 3)² = 7 + 3 - 2√21, ce qui est intéressant car cela nous permet de ne travailler qu'avec des racines de 21.
En calculant (racine de 7 moins racine de 3)⁴, on trouve que cela est égal à 184 - 40√21, ce qui nous montre que nous pouvons combiner le carré et la puissance 4 de cette quantité pour obtenir zéro. Nous décidons donc de chercher un polynôme de degré 4 avec des coefficients a, b, c, tels que a * (racine de 7 moins racine de 3)⁴ + b * (racine de 7 moins racine de 3)² + c = 0.
Après avoir calculé et réorganisé cette équation, nous obtenons a = c/16 et b = -20a. En choisissant c = 16, nous obtenons a = 1 et b = -20.
Ainsi, le polynôme résultant est "p2x = x⁴ - 20x² + 16", qui a pour racine "racine de 7 moins racine de 3". L'objectif de l'exercice est donc atteint en trouvant un polynôme, le plus simple possible, avec des coefficients entiers qui a cette racine spécifique.
