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Dans cette vidéo, l'objectif est de résoudre un exercice d'arithmétique qui prépare à l'entrée à Stanford. L'exercice consiste à trouver les valeurs des nombres entiers positifs x et y qui satisfont à l'équation x² - y² = 2019.

Pour résoudre cette équation, il est conseillé de factoriser l'expression x² - y², qui est une identité remarquable connue en mathématiques. On peut simplifier x² - y² en (x - y)(x + y).

Ensuite, l'idée est de chercher les diviseurs positifs de 2019 pour déterminer les valeurs possibles de x - y et x + y. On peut commencer par décomposer 2019 en facteurs premiers, par exemple en le divisant par 3.

Ensuite, on vérifie si le reste de cette division par 3 est divisible par d'autres nombres premiers. On peut procéder en cherchant les diviseurs potentiels de 673 (ou de 2019) en utilisant des nombres inférieurs ou égaux à la racine carrée de 673. On constate que 673 est un nombre premier, donc on a deux choix possibles pour la décomposition de 2019 : 1 * 2019 ou 3 * 673.

Ensuite, on résout un système d'équations en considérant les deux possibilités de décomposition de 2019. On cherche les valeurs de x et y qui satisfont aux équations x - y = 1 et x + y = 2019. On trouve que x = 1010 et y = 1009 pour la première décomposition, et que x = 338 et y = 335 pour la deuxième décomposition.

Pour la seconde partie de l'exercice, il s'agit de trouver les entiers positifs x et y qui satisfont à l'équation x³ - y³ = 2019. Pour résoudre cette équation, il faut connaître une identité remarquable qui factorise x³ - y³.

On utilise la décomposition en facteurs premiers de 2019 pour simplifier l'équation. On montre que l'expression x² + xy + y² est toujours plus grande que x - y. On pose un système d'équations en remplaçant y par x - 1, mais la résolution de ce système est plus compliquée.

On vérifie si le discriminant du système est un carré parfait pour déterminer s'il existe des solutions entières. On trouve que le discriminant n'est pas un carré parfait, ce qui signifie qu'il n'y a pas de solutions entières pour l'équation x³ - y³ = 2019.

On réalise le même processus pour l'autre décomposition de 2019, mais on obtient également la conclusion qu'il n'y a pas de solutions entières.

En conclusion, il n'existe pas d'entiers positifs x et y qui vérifient l'équation x³ - y³ = 2019.



Dans cette vidéo, je vais vous corriger un exercice qui sert à préparer l'entrée à Stanford. Vous allez vous en rendre compte assez vite, ceci est un exercice d'arithmétique. Donc il s'adresse particulièrement aux élèves qui ont fait MathExpert, mais vous pouvez le comprendre également si vous avez fait MathSécialité et que vous êtes un peu curieux. Alors, première partie de la question, find all the positive integrals x et y qui satisfont x²-y² égale 2019. On va commencer là-dessus. Le premier réflexe quand on vous donne ce genre de question, c'est de factoriser. S'il est simple de factoriser l'expression, faites-le. x²-y², c'est une identité remarquable bien connue, de troisième honnêtement. x²-y², vous pouvez la simplifier tout de suite en x-y fois x plus y. Là où l'arithmétique va rentrer en jeu, c'est qu'on va chercher les entiers positifs qui vont pouvoir, quand on les multiplie, faire 2019. Donc on va chercher, non pas d'abord x et y, mais x-y et x plus y. Donc on va chercher qu'est-ce qui peut jouer le rôle de x-y et qu'est-ce qui peut jouer le rôle de x plus y. Pour ça, il faut absolument qu'on fasse une décomposition au facteur premier de 2019. Peut-être que 2019, c'est 3 fois 500. C'est quelque chose au hasard, donc peut-être que ça, ça jouera le rôle de 3, et ça, 500. Après, il faudra qu'on se débrouille dans une dernière étape pour déterminer si x-y vaut quelque chose et x plus y vaut autre chose, combien valent x et y. Ça sera une résolution de système de 2 très facile. Donc, cherchons les diviseurs de 2019. 2019, c'est quoi ? C'est soit une fois 2019, tout bêtement, soit, bon ben c'est pas divisible par 2, on peut regarder, est-ce qu'ensuite c'est divisible par 3 ? Ça fait, on check la somme des chiffres de 2019, 9 plus 1 plus 2, 12. 2019 est divisible par 3. Donc ça fait 3 fois 673. Si maintenant vous êtes en épreuve et vous n'avez pas accès à une calculette, il faut chercher les diviseurs premiers potentiels de 673. Quelle est la technique ? La technique est simple. On va prendre à peu près, on va regarder si 673 est proche d'un entier au carré, un carré parfait, et on va checker uniquement les nombres qui sont inférieurs ou égaux à cet entier. Donc par exemple, ici on sait que 26 au carré, c'est 676. Si vous ne le saviez pas, maintenant c'est fait. On va donc chercher pour les diviseurs de 673, uniquement des nombres entre 1 et 26. Bon, c'est parti. Très facilement, 673 n'est pas divisé par 2. Il ne finit pas par 0, 2, 4, 6, 8. Il n'est pas divisible par 3, parce que la somme de ces chiffres n'est pas divisible par 3 vu que ça fait 16. Il n'est pas divisible par 5 car il ne finit ni par 0 ni par 5, et ensuite il faut vérifier pour le reste. C'est un petit peu laborieux, il faut un peu y aller à la main. Moi ce que je fais, c'est que je regarde un peu comment m'approcher le plus possible du nombre. Donc par exemple, je sais que si je veux le diviser par 7, comme 700 est divisible par 7, ça veut dire que 676 ne serait pas trop loin de 700, juste en dessous. Est-ce que je peux enlever des paquets de 7 à partir de 700 et tomber sur 676 ? Par exemple, si je dis 693, je sais que ça va être divisible par 7 parce que c'est 700 moins 7. J'ai que des paquets de 7. Comme 7 fois 96, c'est-à-dire j'enlève 4 paquets de 7 à 700, fait 672, je me rends compte que ce n'est pas possible que 673 soit divisible par 7. De la même manière, je continue et je vais faire pareil pour les futurs, tous les nombres premiers, entre 1 et 26. Donc pour 11, on trouve que 11 fois 61, il y a 671, ce n'est pas possible. On trouve que 13 fois 52, il y a 676, donc ce n'est pas possible que le nombre soit divisible par 13 encore une fois, parce que je suis à 3 unités de 673, donc ce n'est pas possible en enlevant ou en ajoutant 13 de tomber dessus. Pareil pour 17, je trouve 680. Pour 19, 665. Et pour 23, je trouve 690, quelque chose de proche, dans la table des 23. Je peux déduire de ça que 673 est un nombre premier. Donc, 2019, j'ai deux choix. Soit ça vaut 1 fois 2019, soit 3 fois 673, et il n'y a pas d'autre choix possible, parce que j'ai étudié l'ensemble des entiers qui peuvent le diviser. Donc, maintenant il faut étudier plusieurs cas, soit le couple x moins y, x plus y, il y en a 1 2019, donc premier réflexe, c'est x moins y qui va être plus faible, vu que x plus y c'est toujours plus grand que x moins y, quelles que soient les valeurs, sachant qu'on parle de nombre entier. Si y était négatif, ça marcherait plus, ce que je vous dis, mais vu que y est un nombre entier, positif, x plus y est plus grand que x moins y, c'est donc lui qui va être 2019. Je pose donc un système, x moins y égale 1, x plus y égale 2019. Voyons ce que ça fait. Ça se résout assez facilement en faisant la somme des deux lignes, par exemple. Si je fais la somme des deux lignes, je trouve que 2x égale 2020, ça me donne tout de suite x égale 1010, et donc y, on le trouve très vite, égale 1009. Voilà un premier couple solution. Si maintenant x moins y, x plus y n'est pas le couple 1 2019, mais bien le couple 3 673, j'assigne à x moins y la valeur 3, et à x plus y la valeur 673. Je fais la même chose que tout à l'heure, je résout ce petit système de 2 en 20 secondes, et je trouve que la valeur de x correspondante doit être 338, et la valeur de y, 335. Voilà mon ensemble de couples solutions. Les deux couples solutions tels que x carré moins y carré égale 2019. Maintenant on passe à la seconde partie de la question, qui est un petit peu plus difficile. Celui-ci que je viens de faire, c'est un exercice assez classique de terminale expert, math expert je veux dire, qu'on peut trouver dans les bouquins. La suite va un peu plus loin. Y a-t-il des entiers positifs, sur positive integrals, x and y, such that, donc x3 moins y3, égale 2019. Expliquez. Le premier truc qu'il faut faire, j'appelle ça un rappel, mais c'est peut-être pas évident, et peut-être que vous ne connaissez pas cette identité, c'est connaître l'identité remarquable qui est ici. C'est une identité remarquable de haut niveau, ce n'est pas celle que vous apprenez en troisième, c'est la factorisation de x3 moins y3. Il faut vraiment la voir, si vous ne l'avez pas, vous êtes coincé sur cet exo, au pire là je vous la donne, vous la prenez, il faut peut-être la retrouver, si vous savez, vous sentez que x3 moins y3, ça peut être factorisable par x moins y, il faut se dépatouiller, soit la connaître, soit la retrouver, mais il faut avoir absolument cette identité pour s'en sortir. Dans ce cas, qu'est-ce que je peux dire ? J'ai déjà étudié 2019. Je sais que 2019, c'est soit une fois 2019, soit trois fois 673. Qu'est-ce que je fais ? Je dis juste, soit, je peux montrer très rapidement quand même que x² plus y² plus xy est toujours plus grand que x moins y, simplement parce que ça c'est plus grand que x, et qui est plus grand lui-même que x moins y. En deux secondes, on sait que c'est celui-là le plus grand, encore une fois, on n'en parle que d'antipositives, donc c'est assez trivial. Si x moins y, x2 plus xy plus y2 égale 1 de 2019, qu'est-ce qu'il se passe ? Quel est le système que je peux écrire ? Là, c'est beaucoup plus compliqué que tout à l'heure, parce que tout à l'heure, j'avais x moins y qui égale quelque chose, x plus y qui égale autre chose. Maintenant, le x plus y est devenu un espèce de mélange de carrés un peu dégueu. Pas simple. Je vais donc devoir réfléchir par substitution. Je prends le fait que y égale x moins 1, et je l'insère dans la seconde équation. Quand je l'insère dans la seconde équation comme ceci, ça me donne x carré plus x fois x moins 1 plus x moins 1 carré, quelque chose d'assez lourd. J'ai y égale x moins 1, et ensuite 3x carré moins 3x moins 2018 égale 0. Ce que j'ai fait ici, c'est que j'ai voulu faire comme si on n'avait pas de calculette, parce que soit vous avez une calculatrice, et la calculatrice utilise un calcul de delta, et vous trouve les solutions de cette équation tout de suite. J'ai voulu vous mettre une petite étape de calcul mental, au cas où vous n'avez pas de calculette et qu'il faut se débrouiller avec. Pour le défi, vous pouvez essayer de le faire. En tout cas, je vous donne des petites astuces pour essayer de faire le calcul mental le plus rapidement possible. Le delta ici, c'est 3 au carré, moins moins 3 fois 4 fois 2018 égale 3 fois tout ça. On trouve donc en calculant cette chose 3 fois 8075. Et là, je vais faire quoi ? J'essaie de trouver la décomposition en facteur premier de 8075. Quand ça finit par 75, si vous avez joué à des chiffres et des lettres ou ce genre de jeu là, vous avez la table de 25, la table de 75, ça peut vous aider de savoir que quand un nombre finit par 75, je l'ai appris à la télé avec ce fameux jeu, quand vous avez un nombre qui finit par 75, il est divisé par 25, tout le temps. Donc, on peut trouver que ça, c'est 25 fois quelque chose. Quand on zéro il y a peu près, on dit que c'est 25 fois, moi je dis que 8075 c'est 8000 d'un côté et 75 de l'autre, c'est pour ça que j'ai un 25 fois 3 ici, et 8000, en fait c'est 80 fois 100, et 100 c'est 4 fois 25, c'est comme ça que je m'en sors. C'est beaucoup de petites étapes, mais voilà, je trouve que c'est 25 fois tout ça, 25 fois 323, et je peux me dépatouiller pour trouver les divisors de 323 en appliquant le même procédé qu'au-dessus. Je vois qu'il y a 18², il y a le 324 pas très loin, je vais tester tous les divisors premiers en dessous de 18. Et je trouve, en testant un par un comme j'ai fait tout à l'heure, mais là j'accélère un petit peu le processus, je trouve 17 fois 19. Ce n'est pas évident, il était bien caché celui-là, ce n'était pas loin d'un moment donné, mais on trouve 17 fois 19, et donc je trouve au final delta égale 3 fois 17 fois 19 fois 5². Ça, ce n'est pas un carré parfait. Le fait que ça ne soit pas un carré parfait me donne la réponse que je cherche en fait. Ça me donne que quand je vais écrire les solutions x dans mon équation ici, je vais devoir écrire 3 moins racine de quelque chose. Ça, ce n'est pas un entier. Donc comme x doit être un entier, je sais tout de suite que je n'ai pas de réponse. Vu que delta n'est pas un carré parfait, mes réponses potentielles, mes solutions à cette équation ne seront pas dans N, donc je n'ai pas de solution. Deuxième test, on fait exactement la même chose, on regarde quand ce couple-là va être égal à 3, 673, et on voit si c'est possible. On fait la même chose, on trouve un delta un peu compliqué, on se dépatouille, il faut checker, c'est un peu plus long donc là je pense qu'il vaut mieux le faire à la calculette en effet, il faut checker si 2683 est premier, et on se rend compte que non plus, les deux solutions de cette équation ne sont pas des antinaturels, et donc on n'a pas de solution. Ma conclusion à ça, c'est donc y a-t-il des entiers qui vérifient x3 moins y3 égal à 2019 ? Non. J'espère que ça vous a inspiré, donc c'était une vidéo un peu plus longue, puisqu'elle est un peu plus compliquée, je vais vous le détailler un peu plus, vous mettre un peu de calcul mental en plus. Posez-moi des questions si nécessaire, et je vous retrouve sinon dans une prochaine vidéo. Bye bye. Sous-titres réalisés para la communauté d'Amara.org

x³-y³=2019 avec des entiers ?

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