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Dans cette vidéo, l'exercice proposé concerne une fonction f'x égale à ax-x³ sur 1 plus x². L'objectif est de démontrer que si a est supérieur ou égal à 9 huitièmes, alors f'x est toujours positif. Pour cela, le professeur utilise une méthode de simplification des fractions avec des polynômes en haut et en bas, pour ensuite dériver et exprimer la condition recherchée. Il utilise également un changement de variable pour simplifier les calculs. Finalement, en étudiant une autre fonction et en montrant qu'elle est inférieure à un huitième, il démontre que si a est plus grand ou égal à 9 huitièmes, alors f'x est positif ou nul. L'exercice nécessite une bonne maîtrise des techniques mathématiques et de l'indépendance dans l'approche des problèmes. 

Bonjour à tous, aujourd'hui un exercice issu du STEP, le concours d'admission à Cambridge en maths et en sciences. Soit, donc let, f'x égale ax-x³ sur 1 plus x², ce qui ici est très simple. Soit a une constante, d'accord, montrez que si a est plus grand ou égal à 9 huitièmes, alors f'x est toujours positif au niveau. Voilà, c'est une question tout d'abord, il faut vraiment comprendre ça, on a une proposition a, a plus grand ou égal à 9 huitièmes, qui implique proposition b, f'x plus grand ou égal à 0. Donc c'est l'implication qu'on doit démontrer, c'est-à-dire qu'on aura trouvé, traduire des choses, on aura trouvé une situation où on remarquera que si a a le bon goût d'être plus grand que 9 huitièmes, alors ce truc-là est vrai. Moi je vais partir dans une voie où peut-être qu'on va essayer de traduire quand est-ce que f'x serait positif et voir ce que ça donne. Première étape, je vous le donne tout de suite, c'est vraiment une astuce très importante, je pourrais faire une vidéo juste là-dessus, et c'est un truc que je dis toujours à mes élèves, je les embête un peu avec ça, simplifier la fraction. Quand en général on a une fraction avec des polynomes en haut et en bas, on peut toujours faire quelque chose, très souvent en général. Donc souvent ça consiste à faire apparaître ce qu'il y a au dénominateur, au numérateur, pour simplifier un peu. Là je vous mets la règle en général, enfin une vraie règle, quand le degré du dénominateur en dessous est plus faible que le degré de ce qu'il y a au dessus, au numérateur, alors il est possible de faire baisser ce degré par quelques manipulations basiques. Donc je vous montre un exemple tout de suite, l'idée ça va être de faire apparaître un plus x² en haut, puis ensuite de compenser un peu, ce qu'on va peut-être faire apparaître des trucs, si je fais apparaître un plus 1, pour avoir un plus 1 comme en bas, je n'ai pas le droit de faire apparaître ça de nulle part, il faut que je fasse plus 1 et donc moins 1 derrière. On va ensuite compenser et simplifier l'expression. Alors, première étape, x³, on peut se poser la question, c'est x² plus 1 fois quoi ? Je veux renforcer l'apparition de x² plus 1 en haut pour simplifier l'expression. Ça serait fois x, pour avoir du x³, et comme ça je multiplie le x² par x, ça fait du x³. Très bien, si je mets un fois x, je me rends compte que ça, quand je développe, c'est x³ plus x, j'ai fait apparaître un plus x de nulle part, je suis obligé de compenser par un moins x, pour que je puisse dire que j'ai bien une égalité ici. Oups, j'ai effacé des choses. Donc là j'ai x³ égale x³ plus x moins x, mais x³ plus x est écrit sous cette forme là. Ensuite, qu'est-ce que je fais ? Je simplifie. J'écris donc dans l'expression x³ sur 1 plus x² égale x sur 1 plus x² moins x, je sépare la fraction en deux, pour pouvoir isoler le premier terme, ça, ça va simplifier équivaut x, et ensuite moins x sur 1 plus x². Donc je suis passé d'une fraction où j'avais x³ sur 1 plus x² ici, ce qui est un peu moche et chiant, alors à dériver c'est une galère, à un truc un peu plus simple. Vous allez me dire, bon, il faut juste dériver ce truc-là, ça ira plus vite. Peut-être, mais mon idée c'est que si vous maîtrisez cette petite technique, cette petite astuce de faire apparaître au numérateur ce qu'est un dénominateur, si vous apprenez à le faire vite, ce qui est vraiment possible dans votre boîte à outils, ça va vous aider pour pas mal de calculs et pas mal de facilités pour les dérivés notamment. Donc à la fin, je trouve f²x égale ax moins tout ça, donc moins x plus x sur 1 plus x², et ça donne ça. Très bien. Deuxième étape, on dérive. Donc f'²x, c'est très facile. Ça, quand on dérive, il reste a-1, et ça, on fait la formule u'v, donc u' c'est 1 fois v moins v'2x fois x, et on simplifie, on trouve cette fonction. Maintenant, on va essayer d'exprimer la condition. C'est une condition, je vais vous montrer qu'à certaines conditions, si a a le bon goût d'être plus grand que 9 huitièmes, alors normalement ce truc là sera positif. Donc voyons à quelles conditions déjà ce truc là peut être positif. Il va être positif si et seulement si a-1 va être plus grand que moins tout ça. Donc si a-1 va être plus grand ou égal à x²-1 sur 1 plus x² au carré. Là, moi, le réflexe que j'ai eu quand j'ai vu ça, quand j'ai fait mon brouillon, c'est de me dire bon, peut-être que cette quantité là, x²-1 sur 1 plus x² au carré, n'est pas trop compliquée à étudier, et peut-être que je peux démontrer, si l'exo est bien fait, il y a moyen que ça marche, enfin si l'exo est fait pour, peut-être que je peux démontrer que ce truc là est plus petit que 9 huitièmes moins 1, donc 1 huitième, et je fais exprès de penser avec 9 huitièmes parce que c'est ce qu'on me donne dans l'énoncé, mais peut-être que comme par hasard ce truc là est plus petit que 9 huitièmes moins 1. Donc je vais étudier ce bout là, x²-1 donc qui est juste ici là, sur 1 plus x² au carré, je vais l'étudier, si par hasard j'arrive à me rendre compte que ce truc là est toujours plus petit qu'un huitième, c'est trop cool parce qu'en effet si A dans ce cas est plus grand ou égal à 9 huitièmes, j'aurais ça qui est toujours plus grand ou égal à un huitième, et un huitième qui sera toujours plus grand ou égal par définition à ce truc là. Donc étudions cette petite fonction à part, voyons si elle est plus petite qu'un huitième, puis ensuite j'aurai ma démonstration qui est faite comme ça. Si je me retrouve à la fin à montrer que ce truc là n'est pas plus petit qu'un huitième, faudra que je pense à autre chose et que je trouve une autre méthode. Je vais partir là-dessus, je me rends compte que ça c'est une fonction de x², c'est-à-dire que ce n'est pas une fonction avec x² plus x-1, non, il n'y a que du x². Un changement de variable s'impose, je peux étudier ça avec un u qui est égal à x² avec u positif. C'est ce que je fais, je pose g égale u-1 sur 1 plus u², le premier truc que je fais c'est que je la réécris un petit peu, donc je change le numérateur pour faire apparaître ce qui est le dénominateur. J'aimerais avoir u plus 1, donc j'écris u-1 comme u plus 1 moins 2, donc ça je peux séparer la fraction en deux, ça fait 1 sur 1 plus u moins 2 sur 1 plus u². Petit rappel sur comment dériver 1 sur f², je dérive g, j'obtiens moins 1 sur 1 plus u² plus 4 sur 1 plus u². Mon but pour g est d'avoir son tableau de variation sur R+, donc j'ai mis R+, ça ne m'intéresse que parce que je vois un petit u qui est égal à x² positif. À partir de ce truc-là, ce calcul de g', je peux trouver son tableau. C'est parti, quand est-ce que g' est positif ? On écrit ça, je multiplie par 1 plus u³ de chaque côté, et j'obtiens, si et seulement si, u plus petit moyen de 3. Magnifique, ça me fait un tableau, je suis content. J'espère, je commence à prier pour me dire que ça, ça vaut 1 huitième. On regarde, quel que soit u positif, g2u est plus petit que g2u3, qui est ici en effet, tout est en dessous. Combien vaut g2u3 ? 1 huitième. Et là on sait que l'exo est fini, j'ai plus qu'à conclure. Alors j'ai dit, si a est plus grand que 9 huitièmes, alors a-1 est plus grand qu'1 huitième. Or, j'ai montré que 1 huitième est toujours plus grand que cette quantité x²-1 sur 1 plus x² au carré, avec l'étude de g. Donc, vu que ça, c'est une condition d'équivalence avec f' de x positif ou nul, si a est plus grand que 9 huitièmes, j'ai bien ça, et donc j'ai bien f' de x positif ou nul. Exo démontré. Le plus dur, c'est bien d'attaquer les choses et de vous rendre compte qu'il faut être indépendant et se dire, j'ai cette quantité, ici, je peux l'étudier. J'étudie en posant une dérivée, en posant une fonction que je dérive, que j'étudie moi-même. C'est faisable. La dérivée n'est pas juste quelque chose qui arrive dans une question de b, je peux l'utiliser pour m'aider. C'est cette indépendance qui est difficile et qui fait que ce genre de concours n'est pas simple du tout, parce que c'est un esprit plus maths-sub, honnêtement. Je pense qu'un élève français de maths-sub aura plus de chance, et que c'est pas facile à faire en... Honnêtement, le STEP de Cambridge, c'est en novembre, décembre, janvier de terminale. Mais voilà, en tout cas, je vous montre un peu, c'est faisable, il faut juste une très bonne maîtrise des différents outils à votre disposition. J'espère que ça vous a un peu éclairé, je vous dis à la prochaine pour une prochaine vidéo. Vous êtes encore là ? Ça, ça veut dire que vous voulez plus de maths ? Dans ce cas, abonnez-vous à la chaîne pour ne rater aucune des vidéos que je sors chaque semaine, et rappelez-vous que tous les jeudis, je suis sur cette chaîne pour répondre à vos questions et corriger des exos.

Une fonction musclée !

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