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Bonjour à tous ! Aujourd'hui, je vais résumer en utilisant des termes SEO-friendly un cours qui est une transcription d'une vidéo. Dans ce cours, nous allons aborder un exercice qui est tombé à Cambridge en 2014. Cet exercice ressemble à un exercice d'analyse de fonctions qui peut être réalisé en Terminale, grâce aux outils que nous utilisons régulièrement. L'énoncé nous demande de démontrer que l'équation x égale a puissance x n'a aucune racine réelle si a est strictement supérieur à e puissance 1 sur e. Nous supposons que a est positif pour simplifier les calculs. Ensuite, nous déduisons que x doit également être positif pour éviter une contradiction. Pour résoudre cette équation, nous prenons le log de chaque côté pour simplifier les calculs. En dérivant, nous étudions les variations de la fonction f et trouvons son maximum. En analysant les limites de la fonction, nous déterminons les conditions pour lesquelles elle a des racines réelles ou non. Finalement, nous concluons que si a est strictement supérieur à e puissance 1 sur e, l'équation n'a pas de racines réelles, et si a est strictement inférieur à 1, l'équation a une unique racine réelle. J'espère que cette résumé SEO-friendly vous a aidé à comprendre le contenu du cours. N'hésitez pas à vous abonner à la chaîne pour plus de vidéos et de conseils mathématiques. À bientôt !

Bonjour à tous, je suis content de vous retrouver. Aujourd'hui, on va faire un exercice qui est tombé à Cambridge en 2014. Voici un exercice tombé à Cambridge donc, qui ressemble un petit peu à un bon exercice d'analyse de fonctions qui peut tomber en Matube, mais qui est faisable, honnêtement, en Terminal, vu les outils qu'il utilise. Donc c'est Terminal++ et donc Matube régulier, on va dire. Alors, on vous dit, en considérant le minimum de, alors là je sens le or otherwise, si vous commencez à avoir l'habitude des vidéos sur Cambridge, il y a toujours un ou autrement qui dit, en gros, si vous voulez faire les malins et trouver d'autres méthodes, faites-le. Mais en gros, ça, je ne vous conseille pas, à part si vous en avez une qui vous saute aux yeux, suivez les conseils pour ne pas perdre de temps si vous passez le concours du STEP pour entrer à Cambridge. En considérant le maximum de cette fonction, montrez que l'équation x égale a puissance x n'a aucune racine réelle, has no real roots, si, cet accent, si a est plus grand strict que e puissance 1 sur e. Donc tout ça, c'est moche, encore une fois, on joue sur la peur. Un petit peu, genre on va impressionner les candidats avec des trucs un peu laid, des e puissance 1 sur e, etc. Nope, je m'en fiche, moi je vais avancer doucement et voir, apparaissent le e puissance 1 sur e s'il veut, je m'en fiche. Il peut apparaître, il fait ce qu'il veut, moi je veux juste y aller doucement. Donc je vais supposer a positif. Je suppose a positif parce qu'on veut que je montre un truc sur a plus grand que e puissance 1 sur e, donc je prends a positif pour ne pas me prendre la tête et ne pas me compliquer la vie. On va me dire ensuite x égale a puissance x, j'en déduis très vite que x doit être positif strict. Pourquoi ? C'est une conclusion logique parce que sinon j'ai a puissance x, a puissance x si x est négatif, ça va me faire du 1 sur a puissance moins x, et je veux dire, parce que x ici est négatif, c'est genre moins 7. C'est du 1 sur a puissance 7 si vous voulez. Tout ça, c'est positif. Mais non, ça serait égal à x lui-même qui serait moins 7. Pas possible, il y a une contradiction totale. Donc en gros, je comprends qu'avec un a positif, j'aurais aussi un x positif, très bien. Donc x égale a puissance x, pourquoi j'ai fait tous ces chichis ? Pour pouvoir prendre le log. Ça c'est un réflexe que j'espère que vous avez vu dans le chapitre sur le log. Quand vous avez des équations avec des puissances qui ressemblent à des exponentielles, en gros avec des variables puissances, il faut prendre le log pour simplifier tout. Donc prenez le log de chaque côté, pour peu que le domaine de définition soit le bon, etc. On a déjà vérifié que x devait être positif, donc c'est très bien. On trouve log de x égale x log de a, et donc on pose, et c'est pour ça qu'on retrouve ce qu'ils disent dans l'énoncé, ça a du sens. On pose f de x égale log de x moins x log de a, et on va voir si c'est possible pour cette équation, cette fonction, pardon, d'avoir des racines, d'avoir des valeurs pour lesquelles elle vaut 0. f est dérivable, on va étudier à quoi ressemblent ces variations. On a f prime de x égale, très simple, 1 sur x moins x log de a qui devient log de a, le x en va, voilà. f prime de x est positif si et seulement si, x est plus petit ou égal à 1 sur log de a. Ça on va regarder. Quand je trace le tableau, ça donne quoi ? Petit clap clap de succès. x entre 0 et plus l'infini, 1 sur log de a sera donc le maximum, vu qu'avant 1 sur log de a, on a un f prime positif et après un f prime négatif. Donc on a un maximum ici. On voit assez vite les limites dans le tableau, il faut les calculer, donc limite quand x tend vers 0 de la fonction, c'est la limite de log de x moins 0, ça tend vers 0, donc aucun problème, log de x en 0 plus, ça tend vers moins l'infini, donc, hop, moins l'infini. En plus de l'infini, vous avez une petite croissance comparée, donc vous mettez en facteur le plus gros terme, x, vous avez log de x sur x qui apparaît, ça, ça dégage vers 0, moins log de a. Alors moins log de a, ça tend vers moins l'infini, ça va dépendre des... le tout tend vers moins l'infini si a est plus grand que 1. Si a est plus grand strict que 1, ça, ça tend vers moins l'infini. Pourquoi ? Parce que si a est plus grand strict que 1, log de a est positif. C'est un peu... un début de... on sent un peu ce qui va se passer pour la question ici, on vous met a positif toujours, mais plus petit que 1, donc là j'ai oublié de l'écrire, donc je vous le mets, ça tend vers moins l'infini si a est plus grand strict que 1, sinon ce log sera égal à... enfin ce sera un nombre négatif, et donc on aura x fois un nombre moins, moins négatif, donc ça ferait x fois un nombre positif qui tendrait vers plus l'infini. Donc si a est plus grand que 1, on a ça. Très bien. Qu'est-ce qui se passe pour le maximum ? 1 sur log de a. Je vous dis ça, et puis j'ai écrit un petit... je vous ai mis un petit plus ici, donc c'est une erreur de mon part, laissez-moi corriger. Là c'est un moins l'infini. Regardons ce qui se passe pour le maximum, et voyons, en fait, on s'attend peut-être à utiliser un PVI, un théorème de valeur intermédiaire, pour montrer que si là j'ai quelque chose de positif, alors il existe des solutions. Il y a des moments où je vais croiser 0 ici et ici. Si la valeur ici est négative, c'est foutu. Je sens que c'est là que je vais faire apparaître une condition, potentiellement les conditions là-dessus. Donc, en x égale 1 sur log de a, je calcule f de 1 sur log de a. Je dis f de 1 sur log de a est positif ou nul, si et seulement si. En fait, si et seulement si, ça est plus grand que ça, mais ça je peux l'écrire comme log de e. 1, c'est log de e. Donc ça je peux comparer les deux, et je me rends compte que ça c'est vrai, si et seulement si, 1 sur log de a est plus grand que e, j'inverse tout ça, je prends au final l'exponentielle de chaque côté, et je trouve ici a, quand je prends l'exponentielle de log de a, et e, exposant 1 sur e, quand je prends l'exponentielle de 1 sur e. Le 1 sur e, le e exposant 1 sur e, est apparu, c'est super, on a compris que f de 1 sur log de a était positif, si et seulement si a devait être plus petit que e puissance 1 sur e, et or f du maximum, la valeur du maximum est positive, ça veut dire qu'il existe des racines. Donc si vous voulez, si c'est positif ici, j'ai des racines, donc je n'ai pas de racines, équivalent a, a est plus grand strict que ça. J'ai a équivalent à b, ça me donne aussi la vérité qui est non a équivalent à non b. Ca plus grand strict veut dire que ça c'est négatif et donc pas de solution. J'ai démontré la question. Ensuite on vous dit si 0 a 1, donc si a est plus petit que 1, parce que là j'avais supposé ça, vous voyez que là ça va un peu changer, parce que qu'est-ce qui se passe déjà dès le calcul de f', j'ai en fait f' qui est positif, parce que f' va aller 1 sur x moins log de a, et en fait il va être positif parce que log de a quand a est plus petit que 1 va être négatif. Donc là en fait j'ai moins log de a qui est un nombre positif, donc tout ça c'est très simple, ça donne une fonction qui ne fait que croître. Pour une fonction qui ne fait que croître, entre moins l'infini et plus l'infini, qu'est-ce que je trouve avec le TVI, une unique solution. TVI très simple, il va exister une solution unique, ça va passer par 0 ici quelque part, c'est la fin de la question. Voilà, j'espère que tout ça vous a bien clarifié les choses, encore une fois un exercice pas trop compliqué, une fois que vous avez compris qu'il ne faut pas se faire impressionner par les nombres, les a puissance x, tout ça, vous posez votre étude de fonction, ce qui est un classique pour résoudre des équations comme ça, et vous regardez, alors il faut être prudent à chaque fois selon les valeurs des différents paramètres, vous regardez ce qu'il se passe, si le maximum vous permet, il faut avoir le TVI en tête, de trouver des racines ou pas, puis vous allez doucement et vous concluez. J'espère que ça vous a bien aidé, c'était une vidéo sur Cambridge 2014, et je vous retrouve pour une prochaine fois. Bye bye. Vous êtes encore là ? Ça, ça veut dire que vous voulez plus de maths ? Dans ce cas, abonnez-vous à la chaîne pour ne rater aucune des vidéos que je sors chaque semaine, et rappelez-vous que tous les jeudis, je suis sur cette chaîne pour répondre à vos questions et corriger des exos.

Résoudre x = aˣ, et en moins de 10 minutes

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