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Oxford 2016 

Dans cette vidéo, l'enseignant propose de résoudre un exercice tombé à l'université d'Oxford en 2016. Il explique que même si les termes utilisés peuvent sembler complexes, il est possible de les comprendre avec de la méthode et de l'analyse.

Il commence par décoder le problème et expliquer la notion d'une suite définie par des sommes successives. En calculant les premiers termes de la suite, il remarque une certaine régularité qui l'amène à formuler une hypothèse sur le calcul de xn.

En utilisant la récurrence, il vérifie cette hypothèse et démontre que xn est égal à 2 puissance n moins 1. Il précise cependant qu'il faut faire attention à exclure x0 de cette formule, car elle ne s'applique qu'aux indices de 1 à n.

Ensuite, il explique comment calculer la somme demandée. Il insiste sur l'importance de sortir x0 de la somme et de bien comprendre que l'expression précédente ne s'applique qu'aux indices de 1 à n. En utilisant la formule de la somme géométrique, il obtient finalement une réponse de 3.

En conclusion, il souligne l'importance de bien traduire les termes de l'exercice, de comprendre les premiers termes de la suite et d'appliquer les connaissances sur x0. Il encourage les étudiants à poser des questions et se dit prêt pour la prochaine vidéo.

Bonjour à tous et bienvenue dans cette vidéo où je vais vous présenter le corrigé d'un exercice tombé à l'université d'Oxford en 2016. L'idée pour moi c'est de vous montrer que, en effet, ils sont difficiles, mais qu'avec un peu de méthode, un peu de rigueur, un peu d'analyse dénoncée, on peut se rendre compte qu'ils sont accessibles pour un élève de première ou de terminale. Alors, avant de se laisser envahir par la panique quand on voit le genre de termes qu'il y a dans cet exercice, des sommes de xk, des sommes de 1 sur xk qui vont jusqu'à l'infini, etc., il faut respirer, analyser, essayer de comprendre un peu ce qu'il se passe. On va regarder, tout d'abord essayer de décoder un peu le problème, c'est la première étape, on va regarder un peu ce que ça veut dire que cette suite définie par x0 égale 1 et ensuite définie par des suites, des sommes successives. Ensuite, on va essayer de calculer peut-être une expression genre explicite de xn, et après ça, on sera capable de calculer la somme qui est demandée, c'est-à-dire la somme des 1 sur xk. Premier gros truc évident sur lequel il ne faut pas se jeter, c'est de ne pas écrire ça, c'est égal à 1 sur la somme des xk. Non, la somme des 1 sur xk, c'est la somme des 1 demi plus 1 tiers, ce n'est pas égal à 1 sur 2 plus 3. Non. Ça serait l'idée, quand je vous dis 1 demi plus 1 tiers n'est pas égal à 1 sur 2 plus 3, c'est évident, peut-être que les écritures, des fois, peuvent en confuser certains qui commenceront à écrire ce genre de choses qui est vraiment complètement interdite parce que c'est juste faux en mathématiques. Premier piège, entre guillemets. Deuxième problème un peu, c'est le plus infini ici. Ça veut dire ça, plus infini, ça veut dire que si on arrive à calculer cette somme jusqu'à n, en fait, elle peut converger quand n devient infini. On vous le dit, donc il faut comprendre que c'est ça que ça dit. Décodons d'abord le problème. On vous dit que xn est défini comme la suite, par la somme, des termes en x qui le précèdent. Bon, on peut calculer quelques termes. x1, c'est donc la somme des termes précédents, x0, tout bêtement, il n'y en a qu'un, c'est 1. x2, c'est la somme des deux précédents, x0 plus x1, c'est 2. x3, c'est x0 plus x1 plus x2. Déjà, on a compris que l'écriture là, c'était un truc compact, mais en fait, ça veut juste dire on fait la somme des précédents. x4, c'est x0 plus x1 plus x2 plus x3, ça fait 8. Tout d'un coup, je vois 1, 2, 4, 8, je commence à me dire, je crois que je sens un peu l'intuition. C'est-à-dire, x2, c'est 2 puissance 1, peut-être que c'est 2 puissance 2 moins 1. x3, c'est 2 puissance 2, donc 2 puissance 3 moins 1. Pourquoi je fais ça ? Parce que je vais me rapporter à chaque fois au même indice ici et ici. x4, c'est 8, 2 puissance 3, et en fait, c'est donc 2 puissance 4 moins 1. Et donc, j'ai envie de montrer, par récurrence, je vais vous montrer, c'est pas vraiment exactement ce qu'on appelle une récurrence forte, mais c'est une récurrence un peu plus poussée. On va essayer de montrer que xn devient 2 puissance 7 moins 1. J'ai essayé de faire une rédaction exacte, je pense qu'il y a des profs de maths qui voient ça, ils vont peut-être me lyncher un peu, mais imaginons que vous avez ce problème. Vous arrivez devant l'AMATI, il faut vite comprendre ce qui se passe. Et si vous avez compris que xn, il y a 2 puissance 7 moins 1, quand vous voyez les corrigés officiels, en gros, vous, il vous l'expédie en 2 minutes. Moi, je vais le faire un peu de manière, une récurrence un peu améliorée, en gros. C'est pas en maths sub ou maths p, peut-être qu'il faudrait faire un peu plus de détails que ce que je vais faire là, mais voilà, vous allez comprendre l'idée très vite. Je vérifie pour n égale 1, x1 égale 1, donc on trouve, quand x1 vaut 1, or 2 puissance, donc je vérifie les deux termes, or 2 puissance 1 moins 1, ça fait 2 puissance 0, ça fait 1, donc j'ai bien x1 égale 2 puissance 1 moins 1, ça marche. Hérédité, ce qu'on va faire, c'est qu'on va faire une hérédité générique, c'est que pour passer d'un terme à l'autre, cette fois-ci, c'est pas p2n qui va impliquer p2n plus 1, il me faut la vérité de la propriété pour les termes x0, x1, x2, x3. Je veux dire qu'ils sont bien tous égaux à 2 puissance 1 moins 1, et que l'ensemble de ces termes pour x0, x1, x2, jusqu'à xn, tous ensemble, vérifiant l'hypothèse de récurrence, vont pouvoir impliquer que ça marche pour le terme d'après. C'est un peu l'idée. On a donc, si j'écris quel que soit k entre 1 et n, sachant que x0 est fourni, donc ça marche, xn plus 1 égale. xn plus 1, c'est la somme de k égale 0 à n dxk. Je mets un peu un warning sign de faire attention à x0, parce que moi je connais avec ma formule de récurrence, le fait que x puissance k c'est 2 puissance k moins 1, ça ne fonctionne que pour 1 à n, parce qu'en effet si je mets pour x puissance 0, x1 dit 0, ça ferait 2 puissance 0 moins 1, ça ferait 1 sur 2. C'est faux, x0 ça vaut 1. Donc x0 ne peut pas être écrit avec cette formule. C'est pour ça que je l'exclus, ça c'est x0, je l'exclus devant, ça vaut 1, plus ensuite la somme de 1 à n dxk, et que je peux écrire 2k moins 1. Je fais juste très gaffe à ce que j'écris. La somme entre 1 et n des puissances de 2 puissance k moins 1, quand je résous, en gros j'ai 1 plus 2 plus 2 puissance 1 plus 2 puissance 2 jusqu'à 2 puissance n moins 1, ça fait 2 puissance n, le nombre de termes, moins 1 sur 2 moins 1, ça fait donc 1 plus 2 puissance n moins 1 égale 2 puissance n. C'est démontré par récurrence. Donc attention ici, il fallait bien mettre le x0 à part, sinon ça peut faire des problèmes, et ça va être une des sources d'erreur qui va perdre 30% des candidats. Donc j'ai démontré ce truc là. Maintenant faisons le calcul de la somme qui nous est demandée. On va se dire c'est simple en fait. C'est une somme, la somme des 1 sur xk, entre 0 et plus l'infini, énorme piège. Je sors, pour pouvoir exprimer le xk avec l'expression précédente, comme j'ai bien dit, xk pour n plus grand égal à 1 c'est 2 puissance n moins 1 pour 1 et plus. Je sors le x0, et je remplace ensuite pour la somme entre 1 et l'infini, xk par son expression. L'expression qui est donc valide uniquement pour les indices de 1 à n et plus l'infini. Donc je mets 1 plus ça. Pourquoi est-ce que j'insiste autant et j'ai l'air un peu lourd là-dessus ? Parce que si vous ne le faites pas, et vous gourrez et vous laissez juste ça comme ça, vous n'aurez pas ce 1. Et à la fin vous aurez une solution, qui est une de celle-ci. Je peux vous assurer qu'à coup sûr il y en a une là-dedans qui est quasiment la bonne, mais à 1 près. Vous aurez une solution qui est là-dedans mais qui n'est pas la bonne. Il faut faire très attention à ce petit détail, parce que sinon vous pouvez juste vous planter sur un truc très bête comme ça. 50% des erreurs. Je n'en sais rien. Je suppose, moi, d'expérience avec mes élèves que je prépare à ce truc-là, que le genre d'erreur va tomber là-dessus. Ce n'est pas 50%, mais vraiment beaucoup d'élèves vont se planter à cause de ça, alors que tout le raisonnement et les calculs sont bons. Ça fout les glandes. Donc vous avez 1+, j'écris ensuite la somme, 1 plus 1,5 plus 1 sur 2 au carré, etc. C'est une somme géométrique, avec raison plus petite que 1, elle converge donc vers 1 sur 1 moins q. Je remplace directement 1 plus 1 sur 1 moins 1,5. Et ça fait 3. Fin de l'exercice. Donc somme égale 3, c'est la réponse, petit d. En effet, il n'y a pas de somme qui est égale à 2, donc si vous oubliez ce petit 1 ici, dont je parlais là, d'isoler x0, à coup sûr vous allez trouver un truc qui n'est pas 3, et vous allez vous faire avoir. Soit paniquez, parce que ce n'est pas la réponse a, b, c, ni d, ni e, soit trouvez autre chose, et donc, même sans se rendre compte, ce qui est le pire, sans se rendre compte, dire à passer la d, et passer à autre chose. Donc voilà, c'est fini pour cet exercice, j'espère que ça vous aura bien inspiré. Principalement, mon point sur celui-là, c'est traduisez bien, prenez le temps de regarder pour les premiers termes, comprenez ce qui se passe, et ensuite appliquez votre cours sur x0, ce serait le point le plus important de l'exo. Et voilà, vous serez prêt pour ce genre de questions. Je vous dis à la prochaine, posez des questions si nécessaire, à toute !

Une somme… d'inverses… de sommes !

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