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Oxford 2020 

Bonjour à tous, je m'appelle Antonin et je suis professeur particulier de mathématiques, spécialisé dans les examens d'entrée à l'université d'Oxford. Aujourd'hui, je vais vous présenter un exercice qui est tombé à Oxford en 2020. 

L'énoncé demande combien de valeurs de l'angle x, situées entre -90° et 90°, permettent d'égaliser la somme infinie de 1/tangente(x) + 1/tangente^2(x), etc., à la tangente(x).

Pour résoudre cet exercice, on doit tout d'abord comprendre que la fonction tangente(x) est strictement croissante entre -π/2 et π/2. On remarque également qu'on a une série de nombres élevés à des puissances croissantes. Cela nous indique qu'il s'agit d'une somme géométrique.

Notre objectif est de simplifier cette somme et de trouver quand elle est égale à la tangente(x). La première étape consiste donc à simplifier la somme géométrique. Nous savons que cette somme converge si la valeur absolue de la raison (1/tangente(x)) est inférieure à 1. Ainsi, nous devons vérifier que la tangente(x) est strictement supérieure à 1 ou strictement inférieure à -1.

Ensuite, nous pouvons calculer la somme géométrique en utilisant la formule Q/(1-Q), où Q est égal à 1/tangente(x). En remplaçant Q par sa valeur, nous obtenons S = 1/tangente(x) - 1.

Enfin, nous devons résoudre l'équation tangente(x) = S. En posant Y = tangente(x), nous obtenons l'équation 1 = Y^2 - Y. En analysant cette équation, nous trouvons les valeurs de Y satisfaisant la condition d'équivalence.

Après avoir vérifié que les solutions respectent la condition de valeur absolue supérieure à 1, nous trouvons une seule solution acceptable pour tangente(x) : 1 + racine de 5/2.

En conclusion, il y a une seule valeur de l'angle x, située entre -π/2 et π/2, qui satisfait l'équation tangente(x) = 1 + racine de 5/2.

J'espère que cette explication était claire et utile. Les problèmes du MIT et du Math Admissions Test d'Oxford ne sont pas simples, mais avec une bonne décomposition et l'application de ce que nous avons appris en première et en terminale, nous pouvons trouver des solutions. La réponse à cet exercice serait donc la réponse b.

Bonjour à tous, je m'appelle Antonin, je suis prof particulier de maths et je me suis notamment spécialisé dans les examens d'entrée à l'université d'Oxford. Aujourd'hui, un exercice tombé à Oxford en 2020. Pour bien rétablir cet exercice tombé à l'écrit d'Oxford en 2020, analysons exactement l'énoncé et ce qu'il nous demande. Alors, pour in the range, minus 90°, x, 90°, donc pour des angles x compris entre moins 90° et 90°, combien existe-t-il de valeurs de l'angle x telles que la somme infinie 1 sur tangente x plus 1 sur tangente carrée x, etc. soit égale à tangente x ? Plusieurs choses ici, il faut remarquer déjà, on nous parle de tangente x, bon, on va essayer de bien se rappeler comment la fonction évolue, notamment entre moins pi sur 2 et pi sur 2, on sait qu'elle est croissante strictement, très bien. On repère ensuite qu'on a un nombre, puis le même nombre carré, puis le même nombre cube, etc. Donc on sent venir la somme géométrique, et ensuite il faut comprendre qu'on veut que cette somme s soit égale à tangente x. Et la question qu'on vous demande, il faut être assez précis, c'est des QCM qui sont un peu vicieux des fois, combien y a-t-il de valeurs telles que ce s soit égal à tangente x ? Donc on ne vous demande pas la valeur de la solution potentiellement. Donc il va falloir analyser cette somme, et ensuite analyser le problème, quand est-ce que cette somme, une fois qu'on l'aura peut-être simplifiée, quand est-ce qu'on vaut tangente x ? Donc première étape, simplifier la somme, deuxième étape, résoudre la somme égale tangente x. Première étape, simplifier la somme. S est une somme géométrique, on s'en rend compte assez vite, je vous mets un petit rappel de cours. Une somme géométrique, pour une raison Q, très simple, 1 plus Q plus Q2 plus 3 petits points 1 plus Q puissance n est égale à la forme compacte qui est ici. Alors on peut que Q soit différent de 1. Je le mets ici pour Q différent de 1. Si Q égale 1, la somme vaudra juste n plus 1. Donc 1 moins Q puissance n plus 1 divisé par 1 moins Q. On sait ensuite que cette somme va converger vers 1 sur 1 moins Q, uniquement à la condition que la valeur absolue de Q soit inférieure strictement à 1. Donc ici on nous parle de convergence, on nous dit qu'il y a une somme infinie, donc ça présuppose que la somme peut converger. Dans ce cas, il faut regarder que la somme affinée va exister uniquement si Q, la raison, donc ici 1 sur tangente X, est bien plus petite que 1 strictement. Donc on prend la condition qu'on a écrite là et on la vérifie ici. Là ça va vous faire un peu des rappels sur la fonction tangente. Ça veut dire qu'on veut absolument que la tangente X en valeur absolue soit plus grande que 1. Nous on sait que la tangente, si vous voulez, en gros la tangente entre pi sur 2 et entre moins pi sur 2 pi sur 2, elle ressemble à ça. On sait qu'elle est strictement croissante. Sur moins pi sur 2 pi sur 2, on sait que tangente X est plus grande stricte que 1. Quand X est plus grand que pi sur 4, très simple. Et vu que c'est une valeur absolue, tangente X est plus petite que moins 1 de manière symétrique quand X est plus petit que moins pi sur 4. Donc il faut absolument qu'on ait des X plus grands que 45 degrés ou plus petits que moins 45 degrés pour que la somme existe. Donc comme on vous disait dans le range, dans l'intervalle moins 90, 90, en fait l'existence de cette somme va être entre moins 90 et moins 45 degrés, strictement, et 45 degrés et 90 degrés. Première chose à noter. Sur moins pi sur 2 pi sur 2, voilà. Pour le calcul de S. Maintenant qu'on a compris sous quelles conditions il faut être, donc les conditions que X revienne dans cet intervalle, on va calculer la somme géométrique. Pour peu qu'elle soit constante dans cet intervalle, le tangent de 1 sur tangente X est bien plus petit que 1 en valeur absolue. Donc je peux écrire S égale, je remarque que le premier terme n'est pas 1. Ici j'ai le premier terme égale Q. Si je devais écrire ça avec des Q, ce serait Q plus Q carré plus Q cube. La manière dont je gère ça, c'est de retenir par cœur une seule formule qui est celle-ci, et ensuite de m'y référer autant que je peux. Pour m'y référer, je vais mettre en facteur Q. Donc si ma somme c'était Q plus Q2 plus Q3 à l'infini, ce que je fais c'est que je mets Q en facteur fois 1 plus Q plus Q2 jusqu'à l'infini. Or celle-ci, je la connais. Q c'est donc Q fois 1 sur 1 moins Q. Vu qu'on a dit que la somme convergeait, je peux remplacer cette somme infinie par 1 sur 1 moins Q. Finalement, en remplaçant Q par sa valeur, j'obtiens S égale Q1 sur tangent X soit 1 sur 1 moins Q, 1 moins 1 sur tangent X. Très bien, on multiplie en bas les deux termes, ça nous fait 1 sur tangent X moins 1. Ouf, on a calculé la somme. Un peu laborieux, mais si vous maîtrisez bien votre somme géométrique, on pourrait dire que c'est la première. On va enfin résoudre l'exercice. Ce n'est pas le tout d'avoir calculé S, maintenant on vous dit quand est-ce que cette somme vaut tangent X. Deuxième étape, résoudre tangent X égale S. On écrit S égale tangent X, si et seulement si on remplace par la formule qu'on vient de trouver, 1 sur tangent X moins 1 égale tangent X. Je multiplie de chaque côté par tangent X moins 1 et j'obtiens 1 égale tangent X au carré moins tangent X. Pour ne pas faire d'erreur ici, c'est bien tangent X qui est au carré. Quand on voit ça, c'est une méthode assez classique du chapitre sur les polynômes du degré 2, de première, il faut se rendre compte que c'est une structure polynomial du degré 2 et donc poser, en tout cas ça peut aider, poser un grand X égale tangent X. Si on pose grand X égale tangent X, en n'oubliant pas que la valeur absolue de grand X dans ce cas-là est bien plus grande que 1, vu qu'on s'est arrangé pour avoir un tangent X dans ces conditions, on pose ça, on remplace et on va analyser le polynôme. Donc on obtient, au lieu d'avoir 1 égale tangent X au carré moins tangent X, on obtient 1 égale X carré moins X. Ça nous donne X carré moins X moins 1 égale 0, j'applique un petit discriminant, delta égale 5, très vite, je trouve X1 et X2 de racine. Qu'est-ce qu'il faut faire ici ? On a deux solutions, on pourrait se dire, ça veut dire qu'il y a peut-être deux solutions au problème, on va se poser. Rappelons-nous tout de suite que quand on a posé grand X, ce n'est pas n'importe quel grand X, c'était tangent X tel que sa valeur absolue soit plus grande que 1. Vérifions avant toute chose que ces deux solutions potentiellement respectent ou ne respectent pas cette condition. Donc checkons ça tout de suite, c'est le plus important. On va regarder pour X1, 1 moins racine de 5 sur 2, ça déjà c'est négatif, tout simplement parce que 1 moins racine de 5 c'est moins 1, donc c'est négatif. On a aussi 1 moins racine de 5 sur 2 qui est plus grand que 1 moins, je fais exprès de prendre racine de 9 pour avoir un nombre entier, c'est vu que racine de 9 est plus grande que racine de 5, moins racine de 5 est plus grand que moins racine de 9. Donc ça vous fait 1 moins racine de 5 sur 2 clairement plus grand strict que 1 moins racine de 9 sur 2, ce qui fait 1 moins 3 sur 2, ce qui fait moins 1. Donc en fait on a X1 qui est compris strictement entre moins 1 et 0. Et donc ça, ça ne nous intéresse pas, ça ne passera pas, tout simplement, je dis moins 1, X1, 0, ça ne passera pas, pour la bonne raison qu'on voulait absolument des valeurs absolues de solution qui soient plus grands stricts que 1. X2 quant à lui est égal à 1 plus racine de 5 sur 2, racine de 5 étant plus grande que racine de 4, tout ça c'est bien plus grand strictement que 1. Donc la seule solution acceptable pour tangent X, c'est celle-ci, dans les conditions du problème qu'on a. On peut donc dire qu'on a trouvé tangent X égal à 1 plus racine de 5 sur 2. En conclusion, qu'est-ce qu'on peut raconter ? Sur moins pi sur 2, pi sur 2, combien de X vont vérifier tangent X égal à cette valeur ? Un seul. La fonction étant bijective sur moins pi sur 2, pi sur 2, elle ressemble à ça, il y a un seul X qui va vérifier cette chose-là, c'est celui-ci. Et donc j'ai une solution unique au problème. La réponse à cette petite question serait donc la petite b. J'espère que c'était bien clair et bien inspirant. Les problèmes du MIT, le Math Admissions Test d'Oxford, ne sont pas simples, mais dès qu'on les décompose un petit peu, on peut commencer à avancer en appliquant tout ce qu'on a appris avec le programme de première, voire de terminale. Sous-titrage Société Radio-Canada

Une suite géométrique !

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