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Oxford 2020 

Dans cette vidéo, le professeur de mathématiques Antonin explique un exercice tombé à l'écrit d'Oxford en 2020. L'exercice consiste à analyser une somme complexe et à en trouver la généralité. Antonin explique que la clé pour résoudre cet exercice est de comprendre la structure sous-jacente des termes de la somme. Il propose de réécrire la somme en utilisant des carrés pour faciliter l'analyse. Il indique qu'il faut comprendre que les termes de la somme sont des différences entre nombres pairs et impairs. Antonin présente alors une expression générique pour chaque terme de la somme et montre comment simplifier cette expression. Ensuite, il explique que la somme totale peut être calculée en utilisant la linéarité de la somme. Il effectue les calculs nécessaires et obtient la réponse finale. Il termine en encourageant les spectateurs à refaire l'exercice et à comprendre pourquoi certaines intuitions erronées ne fonctionnent pas.

Bonjour à tous, je m'appelle Antonin, je suis prof. particulier de math et sur cette chaîne, je fais tout pour vous aider à rentrer dans les meilleures écoles, en France ou à l'étranger. Aujourd'hui, un exercice qui est tombé à l'écrit d'Oxford en 2020. Exercice d'Oxford 2020 Toute la difficulté dans cet exercice d'Oxford 2020 va être d'analyser précisément l'énoncé. La somme, comme ça, a l'air plutôt simple et accessible. On vous dit qu'on a une somme 1-4, plus 9, moins 16, etc. Il va falloir réussir, et il vous aide un petit peu dans l'énoncé, à bien exprimer cette somme pour comprendre exactement quelle est la structure sous-jacente des termes qui s'additionnent. Donc on vous dit 1-4, plus 9, moins 16, et ils ont le bon goût de vous filer à la fin, plus 99 au carré, moins 100 au carré. Ça, ça vous encourage à réécrire la somme de la manière suivante. 1 au carré, moins 2 au carré, plus 3 au carré, moins 4 au carré, qui correspondent à 1, moins 4, plus 9, moins 16, plus 5 au carré, moins 6 au carré, etc. jusqu'à 99 au carré, moins 100 au carré. Une fois que vous avez compris ça, il faut essayer de sortir la généralité de cette somme. Il y a beaucoup de manières de se tromper. Par exemple, une manière que j'ai faite moi-même au brouillon avant de partir sur la bonne piste, c'est de commencer à croire qu'en fait j'avais la différence entre un entier et son entier successif. Donc j'avais en fait n carré, moins n plus 1 au carré. Alors c'est pas faux en soi, mais si vous prenez n au carré, moins n plus 1 au carré, vous allez avoir d'abord 1 au carré, moins 2 au carré. Je commence par 1, ensuite j'aurai plus 2 au carré, moins 3 au carré, le prochain entier. Alors qu'en fait ici, ce qu'il se passe, c'est que je saute un entier sur deux. Donc il faut bien analyser et comprendre qu'en fait les paquets successifs que je vais devoir essayer de comprendre comme une généralité, sont des paquets de deux entiers. Des paquets d'une différence deux entiers. Donc en fait j'essaie de comprendre que c'est d'abord un nombre impair, moins le nombre pair suivant. Ensuite je fais le nombre impair d'après, moins le nombre pair suivant, etc. C'est la succession des nombres impairs qui va guider mes blocs fondamentaux. Donc quand je repère ça, je peux expliquer un peu la structure générique de chaque terme. Mes termes de somme vont être comme ça en fait. Je peux comprendre qu'en fait j'ai un nombre impair, donc 2p-1 au carré, ça serait le petit 1 au carré, moins le pair suivant qui est, l'entier suivant qui est donc pair, 2p, le tout au carré. Si je fais ça et que je comprends que là en fait j'ai exactement cette expression pour p égale 1, là je l'ai pour p égale 2, p égale 3 jusqu'à p égale en fait 50, il ne faut pas se tromper là-dessus, il faut bien voir que c'est 50, parce que ça fait 50, 2 fois 50, 100 moins 1, 99, parfait. Alors ça va marcher, je vais pouvoir écrire ma somme proprement. L'erreur principale étant d'avoir des termes en trop ou des termes en moins. Là je comprends que ça commence à 1 et que ça va jusqu'à 50, j'ai plus qu'à simplifier l'expression générale 2p-1 au carré moins 2p carré. C'est assez simple, j'utilise une unité remarquable pour développer 2p-1 au carré, ça fait 4p carré moins 4p plus 1, auquel je retire moins 4p carré. Le tout fait donc moins 4p plus 1. Donc chacun de ces termes peut être remplacé par moins 4p plus 1 pour p qui varie entre 1 et 50. Le calcul maintenant va venir tout seul. C'était vraiment la mise en place du problème et la traduction qui était le plus difficile. Le calcul en soi, si vous connaissez bien vos petites sommes, il n'y a pas de problème. S va être égal à la somme entre p égale 1 et 50 de moins 4p plus 1, que je peux séparer grâce à la linéarité de la somme, donc ça me fait moins 4 fois la somme de p plus somme de p égale 1 à 50 des 1. Ça, ça fait 1 plus 1 plus 1 plus 1 50 fois, ça fait 1 plus 50. Et ça, c'est la somme des 50 premiers entiers. On la connaît, la somme des entiers de 1 à n, c'est le dernier entier fois le suivant divisé par 2. Je vais pouvoir remplacer moins 4 fois le dernier entier étant 50, 50 fois 51 sur 2 plus 50 qui vient d'ici. Ça fait donc moins, faites le calcul, moins 4 fois 50 divisé par 2 ça fait moins 2 fois 50 fois 51, ça fait moins 100 fois 51, moins 5100 plus 50, moins 5050. Ça conclut cette question d'Oxford Math Admission Test. Elle n'est pas très complexe quand vous voyez le corrigé rapide, mais c'est vraiment pas simple de tout de suite savoir bien repérer quelle est la structure générique. Je vous conseille de le refaire, d'essayer de bien comprendre en écrivant pourquoi peut-être d'autres intuitions comme n² moins n plus 1² ne sont pas bonnes. Et je vous dis à la prochaine pour une prochaine vidéo. Sous-titrage ST' 501

Une suite un peu bizarre

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