Home

Terminale

Prépa Examens

Concours et examens UK 

Oxford 2022

Ce cours est une transcription d'une vidéo qui explique la résolution d'une question du Math Admission Test d'Oxford 2022. 

La question porte sur une suite mathématique avec une relation de récurrence. La méthode utilisée pour résoudre la question est d'appliquer le logarithme naturel (ln) pour gérer les puissances. En utilisant cette méthode, on trouve une formule qui permet de trouver les termes de la suite. 

Ensuite, on applique cette formule pour trouver la valeur du dixième terme de la suite. Après quelques manipulations, on obtient la réponse finale. 

Le cours souligne l'importance d'avoir de bons réflexes et une connaissance des formules mathématiques pour résoudre ce type de question. La méthode utilisée permet de résoudre la question rapidement, en quelques minutes. 

L'objectif du cours est d'aider les étudiants à développer ces réflexes et à acquérir une bonne connaissance des formules mathématiques pour réussir ce type de test.

Bienvenue cette semaine, j'enchaîne encore avec la correction d'une des questions du MathAdmissionTest d'Oxford, édition 2022. [♪ Générique de fin ♪ Comme d'habitude, analyse dénoncée et traduction. A sequence, donc ça déjà, a sequence, c'est une suite. Le mot clé a pas raté, mais vous comprenez le contexte. On a une suite a0 égale 3, et puis pour tous les n suivants, on comprend qu'on a une relation de récurrence, donc la suite vérifie. a n égale 8 fois a n moins 1, le terme d'avant, puissance 4. Bon, un peu vénère par rapport à ce qu'on connait d'habitude, nous on connait des suites géométriques où il n'y aurait pas de puissance 4, on connait les suites arithmétiques avec des plus. Là on vous dit quelle est la valeur de 10. Première méthode peut-être de bourrin, allez calculer les 10 premiers termes. Je pense que ce n'était pas ouf, donc moi je vais quand même vous le faire en version démonstration complète, ça marche. Réflexe, si vous ne savez pas comment partir, moi c'est un truc, c'est une règle que j'ai généralement inscrite dans le marbre de ma tête. Réflexe, quand vous avez des puissances cheloues, j'ai déjà dit ça sur la chaîne d'autres occasions, puissance bizarre ou truc un peu extraordinaire, blam, on met du ln. Le ln, ça gère les gros chiffres, ça gère les puissances, et là ce n'est pas juste de la puissance 4, c'est la puissance 4 dans une relation de récurrence. Donc on sait que ça, en suite géométrique, si on n'avait pas le 4, ça donne quand même un a n qui est dû à 8 puissance n, enfin ça donne un truc ultra vénère, un espèce d'exponentiel. Là ça va être genre sur sur exponentiel vu que c'est pas a n égale quelque chose fois a n moins 1, c'est le a n moins 1 puissance 4 donc ça augmente très très très vite. On peut regarder, on calcule juste a1 pour comprendre ça, a0 c'est 3, a1 c'est quoi ? Bah c'est 8 fois 3 puissance 4, 81. A2 j'en parle même pas, c'est 8 fois 81 puissance 4, c'est fini, on explose direct. Donc ln, ça va sûrement calmer tout ça. Moi c'est ce que j'aime bien, il y a peut-être d'autres méthodes, dites-moi en commentaire si vous les avez. Moi j'ai ce réflexe, je l'ai appliqué, ça a roulé, donc je vous fais ça. Puissance en médiu a n, donc j'applique de chaque côté, je vérifie bien, les termes sont positifs, c'est évident, vous pouvez faire une récurrence, ça vous amuse, mais là encore une fois c'est pas un DM de maths avec votre prof de maths, c'est un QCM où il faut répondre. Donc on sait qu'ils sont positifs parce que le premier positif, et clairement là il n'y a pas de nombre négatif qui apparaissent avec une puissance 4 et tout ça. Donc ln égal, je sépare en deux, ln de 8 plus 4, hop je sors la puissance, ln de a n moins 1. ln de a n c'est moche, je vais poser un égal ln de a n, ça va me vérifier un peu la situation, c'est ce que je fais ici. J'obtiens un égal ln de 8 plus 4 fois un moins 1. Là, c'est un peu de la supe malheureusement, mais c'est quand même beaucoup beaucoup vu je pense dans les exercices de terminal, c'est une suite qu'on appelle arithmético-géométrique. Le Discord, j'en parle tout le temps, on est maintenant plus de 1200, n'hésitez pas à le rejoindre, c'est une communauté ultra positive, on parle de physique, d'informatique, on parle d'orientation, les gens répondent à vos questions de manière bienveillante, c'est vraiment chouette, beaucoup de partage. Allez, je vous laisse pour la suite de la correction, bye bye. Donc c'est une suite qui est presque géométrique, si je virais ça elle serait géométrique. Elle est un peu arithmétique, si je virais le 4 elle serait arithmétique, donc elle est arithmético-géométrique. Ce qui va se passer c'est qu'en gros ça va être une suite avec du 4 puissance n et un petit décalage. Donc j'ai pas le temps de vous faire une vidéo de cours sur la suite arithmético-géométrique, donc je vais vous faire, enfin je vais le faire un petit peu, j'ai pas le temps de vous expliquer la philosophie derrière, mais voilà, en gros c'est quasiment une suite géométrique avec un petit décalage près. Il se trouve qu'on peut le résoudre en faisant quoi ? En introduisant un petit décalage justement, qui viendrait compenser le slot de 8 pour que je me retrouve avec quelque chose de géométrique. Il y a une méthode en 3 étapes, je vous la donne. Étape 1, on pose une suite qui est liée à la suite un de base, donc on écrit un plus un égal à un plus b dans le cas général. Tout de suite le premier truc à faire pour résoudre c'est poser un décalage. Il y a un décalage qui marche bien, donc décalage c'est vraiment au lieu de prendre un je prends un moins 3 si vous voulez. Bon il y en a un qui marche bien dans ces décalages, c'est un moins b sur un moins a. Et c'est bien a différent de 1 parce que de toute façon sinon on aurait juste le cas d'une suite arithmétique. Donc b sur un moins a, c'est ce qu'on appelle le point fixe, c'est le truc qui va marcher. Dans ce cas on montre, en une demi seconde vous mettez là dedans, on montre que Vn est géométrique de raison a et donc Vn égale V0 fois a puissance n. Ou V1 fois a puissance n moins 1 selon le premier terme. Enfin on en déduit, il suffit de remplacer Vn qui vaut en fait Un moins b sur un moins a. On en déduit tout de suite, Un égale b sur un moins a plus U0 moins b sur un moins a, ça c'est V0, fois a puissance n. Donc c'est ce que je vous disais depuis le début, c'est du a puissance n, c'est de la géométrique à quelque chose près. Le quelque chose près ça va être ce b sur un moins a ici et ce b sur un moins a ici. Donc en fait ça c'est une méthode, disons que le petit anglais qui passe son MIT il la connaît, maintenant que vous la connaissez aussi. Vous faites ça, vous avez une suite arithmétique géométrique, vous trouvez ça tout de suite. Donc il y a deux ou trois étapes, mais en fait l'étape sinon c'est de retenir juste la formule finale. Mais ça c'est l'étape de logique, de comment est-ce qu'on la démontre. Voilà, j'espère que c'était clair. Ici on va appliquer, j'ai donc log de 8 plus 4 fois un moins 1, qu'est-ce que c'est a, qu'est-ce que c'est b ? J'ai b c'est log de 8, j'ai a c'est 4. J'applique le résultat ici, direct. Ça fait log de 8 sur un moins 4 sur un moins 3 plus log de 3 plus log de 8 sur 3, parce qu'il y avait un moins 3 ici, fois 4 puissance n. Tout de suite, ok je peux avancer avec ça, mais je remarque, maîtrise totale du chapitre de logarithme, je remarque que log de 8 sur un moins 3 ou sur 3 ça simplifie. Ah oui, log de 8 sur 3 c'est un tiers de log de 8, donc c'est log de 8 puissance un tiers. C'est log de, si vous voulez, q puissance n c'est n log de q. Donc en fait je le prends dans ce sens là, hop, je le fais rentrer, c'est pas je sors la puissance, comme j'ai fait allègrement et avec grand plaisir ici, j'ai sorti la puissance parce que j'aimais pas avoir une grande puissance, là je la rentre. Pourquoi je fais ça ? Comme ça j'ai 8 puissance un tiers, donc c'est racine cubique de 8, ça je connais, c'est 2. Ça fait log de 2. Donc un je ré-exprime, ça c'est moins log de 8 sur 3, donc moins log de 2, plus ce truc là c'est log de 2, ça devient log de 6, log de 3 plus log de 2 c'est log de 3 fois 2. J'accélère, j'accélère. On trouve un égale moins log de 2 plus log de 6 fois 4 puissance n. Top ! Là j'ai un truc donc arithmético-géométrique, un petit peu géométrique avec un terme constant. Un, très simple. Mais un c'est log de an. Qu'est-ce que je fais pour trouver an ? Je passe à l'exponentiel. Donc ma an c'est exponentiel de un. Qu'est-ce que je fais ? Exponentiel de tout ce truc là. Je joue sur mes propriétés de l'exponentiel, et tout ce que j'ai à faire maintenant c'est séparer en deux le plus ici, ça fait un produit d'exponentiel. J'obtiens ça, que de moins log de 2. Très facile, c'est donc 1 sur e de log de 2, c'est donc 1 sur 2 fois e de log de 6, que je vais exprès mettre en puissance 4n, donc je sépare le log de 6, donc j'ai une puissance, si vous voulez, e de log de 6 fois 4 puissance n, et j'écris que c'est e de log de 6, 4 puissance n, parce que je veux gérer ce e de log de 6. Je sais que ça, ça fait 6. Et donc ça me fait fois 6 puissance 4 puissance n. Donc c'est une énorme puissance, c'est pas 6 puissance 4 fois n, c'est 6 puissance 4 puissance n. Donc au début j'ai, pour n égale 1 j'ai 6 puissance 4, pour n égale 2 je suis déjà à 6 puissance 16, n égale 3, j'en parle même plus, j'arrive à 64, en trois sauts je suis déjà à 6 puissance 64. Énorme. Ça correspond bien au genre d'énormité qu'on sentait venir au début. Ensuite j'ai écrit ça, pourquoi ? Cette dernière étape je l'ai écrite parce que je vois que tout est en 2 puissance 20, 2 puissance 20, 2 puissance 20, il n'y a pas de 4 puissance quelque chose. Donc pour le laisser 4 puissance n, je remplace 4, énorme astuce, attention, 4 égale 2 puissance 2. Bon, c'est trivial, ça fait 1 demi fois 6 puissance 2 puissance 2 n. Ok, on me demande A10, c'est fini. A10 égale 1 demi fois 6 puissance 2 puissance 20. Et ça c'est je ne sais plus quelle réponse. La E. Voilà, c'est fini. Je voulais vous montrer qu'en gros, il faut un bon réflexe. Bam, vous l'avez, grosse puissance moche, je n'aime pas, je passe au log. Connaissance de la formule, ici. Dites-vous que là, je vous fais 10 minutes de vidéo parce que je vous explique tout, mais en fait vous avez la formule connue par cœur, vous arrivez, ben, ça torche. Donc, je passe au log, c'est un réflexe qui est intégré dans votre tête, dans le cas idéal, boum, je passe au log, je n'y réfléchis pas. Paf, je reconnais cette formule que je connais par cœur du cours. Bon, j'applique. Je simplifie un peu les logs 8 qui sont moches. Ça, c'est jouer sur les propriétés du log, c'est pas impossible de le faire. Et à la fin, je repasse à l'exponentiale. Il y a une certaine logique, c'est faisable comme question. Ça peut être fait même en 4 minutes. Quand on vous dit qu'il y a 5-6 minutes par question, c'est faisable, c'est juste une question d'avoir établi les bons réflexes dans votre tête. Bon réflexe, et ensuite, ben, bonne connaissance des formules. Vous ne connaissez pas la formule, vous n'avez pas les réflexes, vous êtes mort. Mais il y a une recette. Une fois que vous avez la recette, c'est plus du domaine de l'impossible. J'espère que ça vous a aidé. Dites-moi si vous avez des questions en commentaire et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye.

Une suite hyper géométrique !

RELATED

Recommended videos

Polynôme de degré 4 et nombres premiers

100 cercles concentriques !

Équation à valeur absolue