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Oxford 2022

Dans cette vidéo, TheMathTailor résout une équation mathématique posée au MathAdmissionTest d'Oxford en 2022. 

Il commence par expliquer ce qu'est un log non classique en base 2, qui est la bijection réciproque de la fonction 2 puissance x. Il rappelle également que l'exponentiel x est égal à 2 puissance x.

Ensuite, il factorise l'équation donnée et trouve un polynôme du degré 2. Il résout ce polynôme et trouve deux solutions possibles pour x.

Cependant, il souligne qu'il faut vérifier les conditions d'existence de ces solutions. Il rappelle que le log en base 2 n'est défini que pour des valeurs strictement positives de x. Après vérification, il conclut que les deux solutions trouvées sont bien valides.

En résumé, l'équation donnée a deux solutions réelles valides.

Bienvenue sur la chaîne, je suis TheMathTailor, et dans cette vidéo je vais vous faire une équation tombée au MathAdmissionTest d'Oxford en 2022. On va gérer des logs, des logs en base 2, et des petites équations de degré 3. Pour ce genre de calcul ce qu'il faut c'est un petit peu de méthode. Je pense que le truc principal que je peux vous apporter ici c'est faire un petit rappel sur ce que c'est les logs en base non classique, le log non-néperien qui sera en base e de l'exponentiel. Donc ici on vous dit combien de solutions réelles y a-t-il à l'équation suivante, vous avez un log indice 2, bizarre on va essayer de se rappeler de ce que c'est. Donc log indice 2 c'est en fait la bijection réciproque de la fonction qui a x associée 2 puissance x, de la même manière que vous avez le log néperien qui est la bijection réciproque de l'exponentiel, vous avez l'exponentiel, le log ici, vous avez la même chose pour 2 puissance x. Et en fait l'exponentiel x c'est 2,7 etc puissance x, là c'est 2 puissance x, bon c'est pas très loin. Définition exacte log indice 2 de x c'est log de x divisé par log de 2, quand je dis log là c'était ln. Exemple d'utilisation, si vous avez 2 puissance x égale 7, vous avez automatiquement le fait que x est en fait le log en base 2 de 7, exactement la même chose que si vous aviez le 2x égal 7 et vous disiez bah oui dans ce cas x égale log néperien de 7, même délai. Les propriétés de calcul, propriétés de calcul ce sont exactement les mêmes, donc en fait vous allez avoir log en base 2 de ab, enfin je vous dis en base 2 ça marche en base 8, en base 13, en base n'importe quoi, log en base 2 de ab c'est la somme des logs donc log en base 2 de a plus log en base 2 de b, pareil donc pour la puissance n vous pouvez sortir la puissance, ça découle directement de ce truc là, de celle ci, et donc log en base 2 de 1 est toujours égal à 0, par contre la valeur telle que log en base 2 de quelque chose égal à 1 bah c'est pas exponentiel, c'est 2, c'est à dire la base de la puissance x. Voilà ça ce sont les petites propriétés vraiment c'est les mêmes, on l'utilise pas trop dans le programme français je crois qu'on vous l'évoque et encore si les profs le font pas je pense que c'est pas un drame, ça sera pratique en physique beaucoup quand vous utilisez le log en base 10, notamment pour étudier tout ce qui est le son, les décibels, je pense que vous l'avez vu si vous faites encore de la physique en terminale, et peut-être dans d'autres occasions quand vous avez des équations en gros avec des puissances x qui sont pas juste eux. Voilà donc qu'est ce qu'on fait ? Première étape de calcul, comme d'hab si vous êtes un peu adroit sur les équations vous savez ce qu'il faut faire c'est faire un truc très clean, on va utiliser le fait qu'en fait un log de A égal log de B si et seulement si A égal B, donc si vous voulez l'injectivité, le fait que le log ben en fait ça monte comme ça, donc il n'y a pas il n'est pas possible d'avoir deux valeurs qui ont la même image par la fonction, donc on va essayer d'écrire de chaque côté log 2 de quelque chose égal log 2 de quelque chose, donc il faut gérer tout ce bloc là. Le discord j'en parle tout le temps, on est maintenant plus de 1200 n'hésitez pas à le rejoindre c'est une communauté ultra positive, on parle de physique, d'informatique, on parle d'orientation, les gens répondent à vos questions de manière bienveillante c'est vraiment chouette, beaucoup de partage, allez je vous laisse pour la suite de la correction, bye bye. Ce qu'on va faire ici on va factoriser un peu tout, 3 log 2 de x plus 1 je peux rentrer le 3 dedans et mettre hop tout ça au cube, 1 avec la propriété qu'il y a au dessus je me rends compte qu'en fait c'est log en base 2 de 2 et donc de 2 puissance 1 si vous voulez, et donc ben qu'est ce que je peux dire j'ai la multiplication ensuite, c'est pour ça que je vous ai fait un rappel des règles juste au dessus, je multiplie les deux et je dis que c'est le log de 2 fois x plus 1 au cube, et là je suis content parce que je me dis ben 2 fois x plus 1 au cube il y aura du 2x cube, il y a du 2x cube, ah ben en fait ces petites opérations en cube, ces petits bouts de cube vont dégager et donc j'ai pas à prendre la tête ça va sûrement s'arranger, et oui ça va s'arranger, donc étape 2 résoudre tout bêtement, donc log de tout ça égale donc log en base 2 de tout ça, on développe petit rappel un binôme de newton, rapide ou triangle de pascal pour le développement de a plus b au cube dans ce cas là ça fait donc x cube 3x 2 3x et 1 vous écrivez ça et vous en sortez quoi, là j'ai écrit log égal log de ça, par injectivité par croissance stricte et continuité si vous voulez du log on peut écrire que donc les deux antécédents sont égaux ici on développe là il y a du 2x cube plus 6x carré plus 6x je suis pas embêté à l'écrire on simplifie les x cube etc et on se retrouve avec un x2-4x plus 1 parfait donc là on a un petit polynome du degré 2 on résout c'est pas trop trop compliqué enfin delta ça fait 16-4 égale 12, 12 c'est 2 racine de 3 carré, on a x1 égale on simplifie 2 plus racine de 3 qui est positif j'indique et x2 qui est 2 moins racine de 3 qui est aussi positif là vous dites l'exo est fini quasiment c'était assez rapide ok cool pour le rappel merci au revoir je veux revenir comme j'ai fait la semaine dernière sur la notion de conditions nécessaires et conditions suffisantes parce que là il y a moyen de se planter l'exo est sympa je crois qu'il vous pardonne ici de la manière dont c'est fait vous pourriez vous planter dans la méthode et avoir bon mais sans faire exprès donc je vous montre on a les deux qui sont positifs donc qu'est ce que j'en déduis il y a deux valeurs possibles de x donc s est inclus là dedans moi on me demande le nombre exact de solutions on pourrait jeter dessus et dire c'est bon 2 j'en ai trouvé 2 mais non là j'ai montré que potentiellement il ya deux solutions donc l'ensemble des solutions est inclus dans cet ensemble là il faut maintenant que je vois si ces deux là sont possibles encore une fois réciproquement etc on va faire une réciproque pourquoi parce qu'il ya des conditions d'existence quand même il faut pas oublier ici j'ai x plus 1 bon un log c'est défini que sur r plus étoiles donc déjà si x vaut genre je parle moins 5 c'est fini c'est une solution qui en fait interdite elle est apparue parce qu'en fait là je suis dans l'univers de pas de grand air mais ça se trouve en fait il y a des valeurs interdites parce que là on va pas dire l'ensemble de définition et typiquement x plus 1 je sais bah déjà et je sais que x doit être plus grand strict que moins 1 ça c'est pas dit dans l'énoncé donc il faut faire attention si une des deux solutions que j'ai trouvé dans mon équation polynomiale du degré 2 est négative en gros égal à moins 6 c'est pas bon pire ici celle là elle est facile à gérer ici j'ai un truc cube cube bon je sais pas trop comment elle se comporte je sais qu'elle part en moins l'infini ici en plus l'infini ici au milieu il y a peut-être ça il y a peut-être un truc plat je m'en fiche en tout cas elle part un peu dans tous les sens et c'est sûr qu'il ya des valeurs négatives donc il ya un ensemble de définition ici super relou potentiellement peut-être qu'il faut faire un tvi pour trouver où est ce que ce machin s'annule au moins une fois etc potentiellement des galères donc on va vérifier on va essayer d'être astucieux mais surtout il faut y penser dans ce cas là si vous y pensez pas ça passe vous pouvez dire deux solutions et ça va être la réponse mais ils auraient pu être un peu plus vicieux et mettre des paramètres qui font que bah là vous aviez deux mois racine de 5 vous répondez deux solutions puis c'était foutu donc j'ai besoin ou deux mois racine de 17 si vous n'avez pas vérifié besoin d'une réciproque comme je disais log 2 définit sur un plus étoile il faudrait que je vérifie que ces deux valeurs potentielles x1 x2 amène bien des valeurs positives pour la quantité notamment g2x question dois-je me lancer dans l'étude de cette fonction j'ai pas envie je l'ai déjà dit j'ai pas envie de faire un tvi pour comprendre à peu près que calculer où est le alpha ou pour la première fois la première fois ma fonction croise l'axe des x ça me saoule c'est trop long c'est pas possible c'est pas c'est pas ça en fait j'ai pas besoin parce que j'ai facilement voir que si x est positif g2x est positif avec tout bêtement se mettre là il n'y a que des plus donc en fait là j'ai trois plus un truc positif plus un truc positif en tout cas c'est au carré plus un truc positif donc vu qu'il n'y a que des plus ça me sauve il suffit que mes x soit positif pour que ce machin là soit positif strict et donc que mon log soit défini donc ça veut dire la réponse donc j'ai g2x1 qui sera positif strict j'ai de x2 qui est positif strict je vérifie qu'il y en a j'écris que de ce côté là encore une fois ce truc là vous avez pas rédigé mais c'est pour je le fais à la française quand même je fais j'en profite pour faire un truc complet là vous avez x plus 1 bon bah je vérifie que x plus 1 est bien positif strict ça lève que les deux valeurs de x sont positif strict je l'ai checké ici voilà donc tout ça pour dire on peut conclure au final que l'ensemble des solutions c'est bien égal à ce machin là mais j'ai vérifié le réciproque pourquoi parce qu'ici si je le fais vite fait c'est le genre de concours genre d'exo où je peux me faire planter parce que dans les réponses il y a 0 1 2 je pourrais très bien avoir 2 enfin dire 2 et en fait il n'y en avait qu'une parce qu'une des deux n'était pas valide voire aucune des deux n'était valide voilà j'espère que ça vous a aidé que ça vous a un peu clarifié l'esprit sur des petits détails de raisonnement posez-moi des questions en commentaire si vous avez besoin et je vous retrouve à la semaine prochaine pour une prochaine vidéo

Logarithme en base 2 et résolution d'équation

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