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Physique-Chimie

Physique

Principe de l'induction

Bonjour à tous, dans cette vidéo nous étudions un dispositif de rails avec une barre attachée à un ressort. La barre a une longueur à vide L0, une constante de raideur k, une masse m, et une longueur a. Lorsque la barre est déplacée de la position d'équilibre x0 à l'instant t = 0, il y a plusieurs phénomènes qui se produisent. Tout d'abord, le ressort va déplacer la barre pour la ramener à sa position d'équilibre. Cependant, en raison du champ magnétique dans lequel se trouve le dispositif, le mouvement de la barre va créer une variation de flux magnétique à travers le circuit, ce qui génère une force de freinage qui ralentit la progression de la barre. De plus, une partie du courant induit va être dissipée par effet joule dans la résistance du circuit. Finalement, le système se stabilisera à la position d'équilibre. Le sens du courant induit dépend du sens du déplacement de la barre. Si la barre se déplace vers la droite, le courant induit va circuler dans le sens opposé. Si la barre se déplace vers la gauche, le courant induit circulera dans le sens de déplacement de la barre. En résolvant les équations électriques et mécaniques du système, nous obtenons l'équation du mouvement x'' + (1/tau)x' + (ω0^2)x = 0, avec tau = MR/AB^2 et ω0^2 = k/m. Pour avoir un régime pseudo-périodique, la résistance R doit satisfaire R < 2AB^2(ω0^2/m)^3. En résolvant cette équation, nous obtenons l'expression de x(t) =

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio. Dans cette vidéo, on va reprendre l'exercice des rails de la place, mais en introduisant une petite subtilité, en y ajoutant un ressort. Alors, on étudie ici un dispositif de rails de la place où la barre a été attachée en m à un ressort juste ici. On nous dit qu'elle a une longueur à vide L0, une constante de raideur k. La tige a une masse petite m et une longueur petite a. Ce dispositif, bien sûr, nous sommes en induction, donc il est plongé dans un champ magnétique permanent et uniforme B. A l'instant t égale 0, on déplace la tige initialement au repos de l'abscisse x égale 0 à l'abscisse x 0 qui est strictement supérieure à 0. Donc, on la lâche ensuite sans vitesse initiale. Alors, qu'est-ce qui va se passer ? C'est toute la question 1. En fait, il faut décrire qualitativement l'évolution du système, sans rien calculer, en essayant de prévoir un peu ce qui va se passer. Alors, qu'est-ce qu'on peut dire ? Qu'est-ce que ça fait en fait de mettre la barre en x 0 ? Eh bien, vu que c'est un ressort et qu'il n'est plus dans sa zone d'équilibre, eh bien, le ressort étant tendu, il va déplacer la barre de sorte à la ramener à sa position d'équilibre via la force de rappel. Mais, en fait, déplacer la barre, nous sommes dans un champ magnétique, donc ça va avoir une sacrée incidence. La barre en mouvement va faire varier le flux du champ magnétique à travers le circuit, puisque la surface du circuit va varier en elle-même, ce qui va générer une force de la place qui ralentira sa progression. Qu'est-ce qu'on peut penser comme phénomène aussi énergétique ? Eh bien, le courant induit, il va en partie se faire dissiper par effet joule dans la résistance du circuit, tout simplement. Et puis, finalement, le quatrième point, eh bien, le système finira par se stabiliser à la position d'équilibre. Voilà ce qu'on peut prévoir un peu avec un peu d'expérience et avec la loi de Lenz, mais maintenant, il va falloir me le montrer. Deuxième question, donner le sens du courant induit, selon le sens de déplacement de la barre. Alors, pour ça, on peut fixer une convention, je dis la barre a un vecteur de vitesse orienté suivant plus x, mais bien sûr, la norme de v peut être positive ou négative suivant si elle va à gauche ou à droite. Alors, on peut faire une disjonction de cas. Dans le premier cas où, par exemple, ça va vers la droite, donc v est strictement positif. Eh bien, la force de la place, d'après la loi de Lenz, elle va s'opposer au mouvement, s'opposer à la perturbation, donc elle sera suivant moins x, elle va être suivant sur la gauche pour contrer le mouvement. Or, quel rapport avec le sens du courant ? Eh bien, la force de la place, juste ici, infinitisima, c'est égal à i fois dl vectoriel b. Mais donc, où est contenu ici le sens du courant ? Où est-ce qu'il peut s'exprimer ? Eh bien, c'est dans le vecteur dl, en fait. Si i va dans ce sens-là, eh bien, dl est orienté suivant moins e y. Mais si i va dans ce sens-là, eh bien, le vecteur dl, il va suivant plus e y. Donc, dl, c'est tout simplement plus ou moins dy fois e y. C'est pour ça que j'ai introduit cette petite notation ici, epsilon, pour pouvoir continuer à faire les calculs. On ne sait pas si c'est plus ou moins dy fois e y, donc j'introduis epsilon, qui contient, qui vaut soit moins 1, soit plus 1. C'est donc i facteur de 0, epsilon dy 0, vectoriel 0 0 b. En faisant le calcul, on obtient epsilon i b dy fois e x. Alors, en fait, le sens du courant est maintenant contenu dans epsilon, suivant s'il est plus ou moins égal à 1. Alors, comment est-ce qu'on peut déterminer epsilon à partir de là ? Eh bien, comme on a dit, la force de la place, dans ce cas-là, elle doit être suivant moins e x. Or, ici, tout ça, c'est positif. Donc, epsilon doit être négatif, doit être égal à moins 1. Ainsi, le courant, dans ce sens, dans ce cas, se propage dans ce sens-là. Par contre, si v est strictement négatif, si la barre va vers la gauche, eh bien, le courant sera dans le sens opposé, dans ce sens-là. Très bien. Maintenant, on passe à la question 3. Déterminer l'équation du mouvement et la mettre sous la forme x point point plus 1 sur taux x point plus oméga 0 carré x est égal à 0. Alors là, c'est la grosse question d'induction, de calcul, calculatoire. On sait qu'on doit faire toute la démarche avec l'équation électrique, l'équation mécanique, les combiner et obtenir l'équation du mouvement. Eh bien, c'est parti, on va y aller. Donc, en premier, l'équation électrique. Qu'est-ce qu'on fait lors de l'exercice d'induction ? On oriente le circuit en tout début. C'est ça la première chose à faire. Donc ici, j'ai orienté, j'ai fixé le vecteur normal ds dans ce sens-là, pour qu'il soit dans le même sens que le champ métrique, c'est plus simple. Et donc, pour respecter la règle de la main droite, je mets mon pouce vers le haut, et donc l'inclinaison de ma main droite, bien sûr, nous donne le sens du circuit. Donc, le courant va dans ce sens-là. C'est une convention, bien sûr. Alors, d'après la loi de Faraday, on détermine la force électromotrice. C'est moins la variation temporelle du flux. Le flux, ici, c'est l'intégrale pour grand x, qui va de la position de la partie basse du circuit, à x, juste ici, et y, qui va de 0 à 1. Fois B scalaire ds, et bien ici, vu que c'est un petit carré, ds, c'est dx, dy suivant ez. Et donc, le produit scalaire nous donne B fois dx, dy. Finalement, on obtient le flux qui est égal à A fois B fois x plus xB. Et alors, la force électromotrice, c'est tout simplement moins AB fois x. Ok ? Alors, on continue pour avoir l'équation électrique. On se souvient, on doit faire le schéma électrique équivalent. Donc, on obtient ceci avec la résistance du circuit. D'après la loi des mailles, on obtient finalement R fois I de t, qui est égal à moins AB x.1 de t. L'équation électrique. Je joue un peu vite, puisqu'on l'a déjà fait dans les exercices précédents. Ok ? Donc, maintenant, on a l'équation électrique. Il nous faut l'équation mécanique. Pour l'équation mécanique, on considère la tige conductrice, et puis on lui fait, tout simplement, une étude mécanique. Alors, le premier point, le système, c'est la tige de masse petit m. Le référentiel, c'est le référentiel Thérèse supposée, qui est égal à 1. Alors, le bilan des forces, maintenant. On a le poids et la réaction du support, mais qui sont suivant EZ, donc on sait qu'on ne va pas s'en occuper. On a la force de la place, et puis la force de rappel. On a ici introduit un ressort. La force de rappel, ici, c'est directement moins kx, EX, puisque x est directement noté comme l'allongement. Donc, la force de la place, il faut la déterminer. C'est la somme des forces de la place élémentaire sur les petites portions de conducteurs. Donc, les forces infinitesimales de la place, c'est I x 0 dy 0 0 0 B. Ici, c'est donc IB dy suivant EX. Et donc, en sommant sur l'ensemble dy, eh bien, la force de la place que subit l'ensemble du conducteur, c'est IPA x EX. Donc, on a tout. On peut appliquer le PFD. MA est égale à la somme des forces, et en projetant sur EX, eh bien, on a MX point point, qui est égal à IBA moins kx. Voici l'équation mécanique. Et donc, pour déterminer l'équation du mouvement, on doit bien sûr remplacer le courant ici, qui nous embête, il n'a rien à faire ici. Donc, on le remplace grâce à l'équation électrique. Et donc, avec les calculs, on obtient une équation du mouvement, qui nous est donnée juste ici, x point point plus 1 sur tau x point plus oméga 0 carré x est égal à 0, avec tau qui est égal à MR divisé par AB carré, et oméga 0 qui est égal à racine carré de k sur m. Voilà ce que l'on obtient comme équation du mouvement après toute l'étude d'induction. OK ? Alors, maintenant qu'on a cette équation, eh bien, on va forcément en chercher à la résoudre. C'est la question 4, qui en préambule, nous demande quelles conditions doit satisfaire R pour avoir un régime pseudo-périodique ? En effet, on a une équation différentielle linéaire d'ordre 2, et donc là, on est projeté des mois en avant dans les chapitres d'électricité, et on se souvient, du coup, pour avoir un régime pseudo-périodique, pour étudier la nature du régime, sur quoi est-ce qu'on doit se pencher ? Eh bien, c'est sur le discriminant. Et le discriminant ici, c'est tout simplement MR sur AB puissance 4, moins 4k divisé par m. Et donc, le régime est pseudo-périodique. On se souvient, si et seulement si, delta est strictement négatif. Et donc, ça nous donne la condition pour la résistance R, qui doit être strictement inférieure à 2AB carré fois racine carré de k divisé par m au cube. Voilà, une condition un peu solide, qui est bien vénère. Alors, maintenant la question 5. Dans le cas d'un régime pseudo-périodique, on se place dans ce cas-là, il faut donner expression 2x de t. C'est parti pour la résolution. Donc, on se souvient, on pose, au grand oméga, la pseudo-pulsation. Pour simplifier les notations, juste ici, c'est racine carré de moins delta divisé par 2. Et donc, on a les racines, j'ai oublié les petits i ici, c'est les racines complexes du polynôme. Et donc, on peut avoir la forme de la solution, c'est la somme de la solution générale, juste ici, et de la solution particulière x0. On sait que ça commence à ça, à x0 au début. Donc voilà, qu'est-ce qu'on fait comme réflexe ? Bien sûr, on a deux constantes à évaluer. Donc, on dérive, juste ici, ça nous donne une grosse expression. Et puis, on évalue à l'instant initial, ce qui nous donne que A est égale à 0 et que B est égale, juste ici, à x0 sur 2 grand oméga tau. Et donc, finalement, donc là, je suis allé un peu vite, bien sûr, il faut reprendre le calcul, mais c'est des choses qu'on a déjà fait en électricité. x de t, c'est égal à x0 sur 2 grand oméga tau, sinus de grand oméga t, exponentielle de moins t divisé par 2 tours, plus x0. OK ? Nous avons déterminé x de t. Et maintenant, il faut réaliser un bilan d'énergie et commenter les conversions, comme tout bon exercice d'induction le permet. Et donc, pour réaliser le bilan de puissance, on se souvient, on doit faire deux choses, multiplier l'équation électrique par I et multiplier l'équation mécanique par x. Alors, c'est parti. L'équation électrique par I, ça nous donne R I carré est égal à moins A B I x point de t. Et puis l'équation mécanique fois x point nous donne M x point x point point est égal à A B I x point moins K x point x. OK ? Alors, on se souvient de l'expression, à ce moment-là, il faut retrouver, essayer de faire apparaître des énergies ou des puissances pour essayer de plus facilement raisonner là-dessus. Alors, de quoi est-ce qu'on dispose maintenant ? Eh bien, bien sûr, en sommant les deux, on va avoir d'un côté M x point x point point. Alors, ça nous fait penser à quoi ? En fait, si on a une grandeur et sa dérivée juste à côté, c'est souvent 1 demi fois la dérivée de cette grandeur au carré. Et ici, effectivement, cette expression-là que j'entoure, c'est la dérivée temporelle de 1 demi M x point au carré. C'est en fait la dérivée temporelle de l'énergie cinétique. Ici, R I carré, c'est tout simplement l'expression de la puissance dissipée par effet joule. Et puis, de l'autre côté, ces deux termes se compensent par la sommation. Et ici, on a tout simplement, de la même manière, on a la dérivée temporelle de 1 demi de k x carré. C'est donc la dérivée temporelle de l'énergie potentielle élastique. Voilà ce qu'on obtient comme bilan de puissance. Et donc, discussion, après avoir établi cette équation, on voit clairement que l'énergie qui est initialement élastique, puisqu'on a simplement déplacé la tige, elle va se distribuer en mouvement pour la tige, juste ici, et en effet joule pour le courant, puisqu'il va y avoir un courant généré à l'intérieur de ce circuit. Donc voilà ce qu'on pouvait établir comme bilan de puissance. C'est la fin de cet exercice qui se rapproche des rails de la place. Mais ici, on n'a pas de générateur. On étudie juste un mouvement particulier, et on a placé un ressort qui a quelques subtilités, notamment le fait d'introduire un terme d'ordre 1 dans l'équation différentielle linéaire, ce qui en fait une étude un peu plus poussée. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis à bientôt !

Rail de Laplace + ressort

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