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Cet exercice porte sur les probabilités, les probabilités conditionnelles, les indépendances et les variables aléatoires. La première partie concerne les événements et les prob

Salut, bienvenue dans cet exercice de BAC sur les probabilités, donc probabilités conditionnelles et indépendances, et les variables aléatoires. Donc, quasiment tout le temps, l'exode proba, parce qu'il y a un exode proba au BAC, est constitué comme ça. Donc, il y a deux parties. La première partie, on a des événements, ensuite on veut des probabilités conditionnelles, de temps en temps de l'indépendance, faire un arbre, des probabilités de l'intersection, etc., traduire des énoncés. Donc, typiquement, on nous donne un énoncé, en français, c'est à nous de traduire c'est quoi en termes de proba, et ensuite de calculer. Et la partie deux, il y a la variable aléatoire, qui suit une loi binomiale, donc il faut bien savoir comment justifier que ça suit une loi binomiale, et ensuite faire des calculs via la variable aléatoire. Donc, dans celui-là, la partie variable aléatoire est un peu plus importante, parce qu'on nous donne deux autres variables aléatoires qu'il faudra utiliser avec des règles de calcul qu'on sait faire et qu'on connaît. Alors, c'est parti, donc là, le contexte. On nous dit, Julien doit prendre l'avion, il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l'aéroport, s'il prend le bus de 8h, il est à l'avion, s'il le rate, le bus suivant ne lui permet pas, donc il doit prendre un autre moyen, et qu'est-ce qu'on nous dit, c'était quoi ? Il ne permet pas, il est parti en retard, et voilà, s'il manque son bus, il prend une compagnie de voiture privée, et il a une probabilité, du coup, d'être à l'aéroport de 05. D'être à l'aéroport à temps, pardon. Et vu qu'il est parti en retard, la probabilité qu'il manque son bus, c'est 08, donc il a de grandes chances de manquer le bus. On nous dit, B, c'est l'événement, il a réussi à prendre le bus, et V, il est à l'heure pour son vol. Ensuite, on nous dit, donnez la valeur de P de V, sachant B. Donc là, avec toutes les infos qu'on a dans l'énoncé, s'il prend le bus, il est sûr d'avoir son vol, donc P de V, sachant B, ça veut dire la probabilité qu'il ait son vol, sachant qu'il a eu son bus, c'est 1, parce qu'on nous dit, il est sûr. Ensuite, représenter la situation par un arbre pondéré, donc, on a bus ou rate le bus, il a son vol, il rate son vol, il a son vol, il rate son vol. Ensuite, maintenant, comment on remplit les valeurs ? Donc on nous dit, il est parti en retard, donc il va rater son bus avec une probabilité de 0,8. 0,8 ici. Le 0,2, on complète, parce qu'à chaque fois, ça doit faire 1 pour chaque colonne. Si il a son bus, on a dit, il est sûr d'avoir son vol. Donc s'il a son bus, il est sûr d'avoir son vol, donc c'est impossible qu'il rate son vol. Et, s'il rate son bus, il prend une compagnie de chauffeur privé, et il a son vol avec une probabilité de 0,5, mais du coup, il rate son vol aussi avec une probabilité de 0,5. Donc voilà pour l'arbre pondéré. Ensuite, montrez que P de V égale 0,6. Donc là, on utilise la formule des probabilités totales, qui nous dit que P de V, c'est P de B x P de V sachant B, plus P de B bar x P de V sachant B bar. Là, on n'a plus qu'à lire tout ça dans l'arbre de proba. P de B, c'est 0,2, x P de V sachant B, et pour l'autre, on multiplie les deux ici, on additionne, ça nous fait 0,6 comme demandé. Là, dans la 4, on nous dit, si Julien est à l'heure à l'aéroport, quelle est la probabilité qu'il soit arrivé à l'aéroport en bus ? Ça, c'est absolument ce qu'il faut savoir faire, c'est avoir des réflexes, de traduire un énoncé en français, de dire c'est quoi l'équivalent en proba. On dit, si Julien est à l'aéroport pour son vol, c'est-à-dire qu'on sait qu'il est à l'heure à l'aéroport pour son vol, donc sachant V. Là, on est dans un cas de sachant V. Quelle est la probabilité qu'il soit arrivé à l'aéroport en bus ? On cherche P de B sachant V. Voilà, on cherche P de B sachant V. On utilise la formule P de B sachant V, c'est P de V inter B sur P de V. P de V inter B, c'est P de V sachant B x P de B sur P de V. Celui-là, on l'a déjà calculé juste ici. Ça nous fait 0,2. 0,2 sur 0,6 P de V qu'on vient de calculer aussi. Du coup, ça nous fait 1 sur 3. La probabilité qu'il soit arrivé à l'aéroport en bus sachant qu'il est à l'heure pour son vol, c'est 1 sur 3. Ensuite, on passe à la partie B avec les variables aléatoires. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précise les paramètres. On va relire un peu X, ça consiste en quoi. Là, on nous dit que les compagnies aériennes vendent plus de billets qu'il y a de place dans les avions. C'est du surbooking. Car il y a certains passagers qui ne se présentent pas. Donc voilà, ça s'appelle le surbooking. Au vu des statistiques, la compagnie aérienne estime que chaque passager a 5% de chance de ne pas se présenter à l'embarquement. Ce qu'on fait, c'est qu'on considère un vol dans un avion de 200 places pour lequel il y a 206 billets qui ont été vendus. On suppose que la présence à l'embarquement de chaque passager compte des autres passagers. C'est-à-dire qu'on dit qu'il n'y a pas de famille. Et on appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers présents à l'embarquement. Là, X, on peut le voir comme une succession d'épreuves de Bernoulli. Chaque épreuve, si on regarde un passager, on dit est-ce que tu es présent, est-ce que tu n'es pas présent, est-ce que tu es présent, est-ce que tu n'es pas présent à l'embarquement. C'est ça qu'on va utiliser comme justification pour dire que c'est une loi binomiale. Un passager qui rentre ou non est une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,95. C'est ça qu'on regarde. Est-ce qu'il se présente oui ou non. Donc succès ou échec. Et il se présente avec une probabilité de 0,95 parce qu'il ne se présente pas avec... Il a 5% de chance donc il a 95% de chance de se présenter. Il y a 206 répétitions indépendantes de cette épreuve. Donc X suit une loi binomiale de paramètre n égale 206 et p égale 0,95. Faites attention, il y avait un petit piège. On aurait pu dire que n est égal à 200 mais c'est jusqu'à 200 places. Il y a 206 passagers. Il y a 200 places mais il y a 206 passagers. Et cette épreuve, on l'a fait sur les passagers. Ensuite, dans la question 2, on nous dit en moyenne combien de passagers vont se présenter à l'embarquement. On parle d'une variable aléatoire. On nous dit en moyenne. Dans notre tête, ça doit être un réflexe de dire on va parler d'espérance. Si X suit une loi binomiale de paramètre n et p l'espérance de X, c'est n fois p. Ça, il faut le savoir. Ça fait partie des formules à connaître. Ici, l'espérance de X, du coup, c'est 206 fois 0,95. C'est n fois p. On les a juste au-dessus ici. Donc, ça nous fait 195,7 à peu près 196. Donc, sur 206 personnes qui achètent un billet, il y en a en moyenne 196 qui se présentent. D'accord ? Ça veut dire que admettons que ce soit sur chaque vol, s'il y a, sur un an, je veux dire n'importe quoi, s'il y a 10 000 vols, en moyenne, il y a 196 personnes qui se présentent si on a vendu 206 billets. Ensuite, calcule la probabilité que 201 passagers se présentent à l'embarquement. Le résultat, on l'arrondit au millième, donc à 10 moins 3 près. Là, ce qu'on veut, c'est qu'il y ait 201 passagers. Un petit rappel, comment calculer ça ? Sur une loi binomiale de paramètres n et p, la probabilité que x soit égale à k, c'est k parmi n fois p puissance k fois 1 moins p puissance n moins k. Ça, bien sûr, c'est les calculs qu'on va faire à la calculatrice. Il y a une option binomiale pour calculer le coefficient binomial, et même directement, il y a une option binomiale dans la calculatrice qui nous donne ça pour la plupart des calculatrices récentes. Ici, ce qu'on cherche, c'est p de x égale 201. D'accord ? On veut qu'il y ait 201 passagers qui se soient présentés. On remplace k par 201, n par 206 dans cette formule, et p par 0.95. Du coup, 1 moins p, c'est 0.05. Et ce résultat nous donne à peu près 0.03063, qu'on arrondit à 10 moins 3 près, comme demandé, par 0.031. Donc voilà, la probabilité qu'il y ait 201 exactement passagers qui se présentent, c'est 0.031. C'est une bonne chance, donc ça n'arrive quasiment jamais. Ensuite, calculez p de x inférieur ou égal à 200. Pareil, on arrondit le résultat à 10 moins 3 près, et ensuite, il faut interpréter ce résultat. Donc, on le fait directement avec la calculatrice. Là, ce qu'on pourrait faire, p de x inférieur ou égal à 200, on pourrait calculer p de x égale 201, 202, 203, 204, 205, 206, et faire 1 moins la somme de tout ça. C'est un peu plus long. Maintenant, les calculatrices le font, donc ce n'est pas exigé de le faire avec cette méthode-là. De toute façon, il faut quand même sortir la calculatrice pour calculer chacune des probabilités comme ça. Mais là, la calculatrice donne directement la probabilité que x soit inférieur ou égal à 200. Et ça nous fait 0.948 en arrondissant à 10 moins 3. Donc c'est à peu près certain qu'il n'y aura pas trop de passagers. Une probabilité qui est vraiment quasiment 0.95. C'est-à-dire qu'il y a 95 % de chances qu'il n'y aura pas trop de passagers. Ensuite, question 5, c'est là où on va faire intervenir des nouvelles variables aléatoires. On nous dit que la compagnie aérienne vend chaque billet à 250 €. Si on a plus de 200 passagers, on doit rembourser les billets d'avion. On met de côté le côté humain où la personne s'est déplacée et du coup, elle n'aura pas son vol. On va rembourser et on va payer une pénalité de 600 € en dédommagement de dire tu t'es déplacée, je te dédommage de 600 €. Donc on appelle y, c'est la variable aléatoire, égal au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer sachant qu'ils ont un billet. Ils ont acheté un billet, mais ils ne peuvent pas embarquer parce qu'il y a trop de passagers et ça tombe sur eux. Ils ne peuvent pas embarquer. C'est la variable aléatoire qui totalise le chiffre d'affaires de la compagnie aérienne sur ce vol. Combien d'argent elle a gagné ? On admet que y suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant. Là, on nous donne la loi de probabilité de y et on nous dit de compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant P de y égale 6. Comment remplir cette case ? Pour la première question, on a besoin d'un rappel. Dans une loi de probabilité, la somme de toutes les probabilités vaut 1. Ça veut dire ça, plus ça, plus ça, plus ça, plus ça, plus ça, plus ça, vaut 1. Il en manque un seul. C'est une équation à une inconnue qui est P de Y égale 6. On a P de Y égale 6. C'est 1 moins, entre parenthèses, la somme de tout cela. On le fait rapidement à la calculatrice. C'est un peu long à taper à la calculatrice, mais il faut le faire et faire gaffe à ne pas se tromper. Ça fait 0,00003. Ensuite, justifiez que C vaut 51 500 moins 850 Y. La compagnie a encaissé 206 fois 250. Ça nous fait 51 500 euros parce qu'elle a vendu 206 billets à 250 euros. On doit rembourser le nombre de personnes qui sont en trop. S'il y a trop de personnes qui se sont présentées, on doit les rembourser. Chaque client qui ne peut pas embarquer, on lui rembourse 850 euros. Ici, c'est écrit 850 euros qui est 600 euros parce qu'ils ont été lésés et 250 euros du prix du billet. Ça fait 850 euros. Ce nombre de personnes qui ne peuvent pas embarquer, c'est Y qui les compte. C'est le nombre d'argent que la compagnie a touché moins 850 euros par personne en trop. Si on calcule, la question, c'est de donner la probabilité de la variable aléatoire C sous forme d'un tableau et ensuite en calculer l'espérance. Les valeurs possibles pour C, c'est 51 500. C'est s'il n'y a personne qui est en trop. À chaque fois, c'est s'il n'y a personne qui est en trop, s'il y a une personne qui est en trop, 2, 3, 4, 5 et 6 personnes qui sont en trop. À chaque fois, on fait ce calcul-là et on remplace Y par la valeur de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Et on trouve à chaque fois ces probabilités-là parce qu'on utilise ce tableau-là pour dire que la probabilité que C soit égale à 50 650, c'est la probabilité que Y soit égal à 1. Donc 0, 0, 30, 63. Et pareil pour tous les autres. Ça c'est la probabilité que Y soit égal à 2, à 3, à 4, à 5 et à 6. À chaque fois, donc on a juste à recopier finalement le tableau qu'il y a. Les probabilités sont les mêmes. Et l'espérance de C, pour calculer l'espérance d'une variable aléatoire, ce qu'il faut faire c'est ça x ça, plus ça x ça, plus ça x ça, etc. pour chaque colonne du tableau. Donc l'espérance de C, c'est 51 500 x 0,94775. On fait pareil pour chaque colonne et on trouve 51 429. Et ensuite, comparer le chiffre d'affaires obtenu en vendant exactement 200 billets et le chiffre d'affaires moyen en pratiquant le surbooking. Donc si on vend exactement 2 billets, la compagnie réalise un chiffre d'affaires de 200 x 250 du coup, qui est de 50 000 €, mais en pratiquant le surbooking, donc ça veut dire en vendant trop de billets avec un dénommagement si il y a 3 personnes, la compagnie réalise en moyenne un chiffre d'affaires de 51 429 €. Donc c'est plus rentable pour la compagnie de faire du surbooking. Donc voilà pour cet exercice sur les probas qui peut faire un peu réfléchir.

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