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Dans cet exercice de BAC sur les suites avec de l'algorithmique et de la programmation, on étudie le développement d'une bactérie en utilisant des probabilités. On modélise le développement de la bactérie avec certaines hypothèses : elle a une probabilité de 0,3 de mourir sans descendance et une probabilité de 0,7 de se diviser en deux bactéries. On utilise la relation de récurrence P_n+1 = 0,3 + 0,7 * P_n^2 pour calculer les valeurs de P_1 et P_2. On obtient P_1 = 0,363 et P_2 = 0,3922383. Ces valeurs indiquent que la bactérie a plus de chances d'avoir au moins 1 ou 2 descendants que 0.

Ensuite, on nous demande de déterminer la probabilité, arrondie à 10^-3, d'obtenir au moins 11 générations de bactéries à partir d'une bactérie de ce type. On utilise la relation P_n <= 0,5 pour montrer que P_10 est l'inégalité exacte. Donc, la probabilité d'obtenir au moins 11 générations est égale à 1 - P_10, soit environ 0,571.

On formule ensuite des conjectures sur les variations et la convergence de la suite P_n. En observant le tableau, on voit que les termes de la suite semblent converger vers 0,428, en étant croissants. On conclut que la suite est croissante et convergente.

Par récurrence sur n, on démontre que pour tout entier naturel n, P_n < P_n+1 et les deux sont compris entre 0 et 0,5.

On justifie ensuite que la suite est convergente en montrant que P_n < P_n+1, ce qui prouve que la suite est croissante, et que tous les termes de la suite sont inférieurs à 0,5.

On détermine alors la limite de la suite en résolvant l'équation 0,3 + 0,7 * l^2 = l, où l est la limite de la suite. On trouve l = 3/7, soit environ 0,430.

Enfin, on écrit une fonction en Python qui renvoie les n premiers termes de la suite. On initialise le tableau avec la valeur de P_0, puis on utilise une boucle pour calculer les termes suivants en utilisant la relation de récurrence. On ajoute chaque terme calculé au tableau avec la fonction append, et on renvoie le tableau complet.

Cet exercice permet de mettre en pratique les concepts de suites, probabilités et programmation, en étudiant le développement d'une bactérie avec des hypothèses et des calculs de probabilités. On calcule les valeurs de la suite, interprétons les résultats dans le contexte, démontrons des propriétés sur la

Salut, bienvenue dans cet exercice de BAC sur les suites avec de l'algorithmique et de la programmation. Dans cet exo, on va retrouver aussi des probas, mais ce n'est pas un exo de probas, c'est-à-dire qu'à aucun moment on nous demandera de calculer des probas, on nous parle juste de probabilités, mais ça ne fait rien intervenir dans le chapitre des probas du cours. On nous dit qu'on s'intéresse au développement d'une bactérie, on va modéliser son développement avec certaines hypothèses. La bactérie a une probabilité 0,3 de mourir, sans descendance, et elle a une probabilité de 0,7 de se diviser en deux bactéries, parce que les bactéries se divisent en plusieurs bactéries. Dans le cadre de cette expérience, on admet que les lois de reproduction sont les mêmes pour toutes les générations, et on appelle Pn la probabilité d'obtenir O+, N, descendance, pour une bactérie. On nous fait un modèle, on dit que P0, c'est 0,3, et P de N plus 1, c'est 0,3 plus 0,7 Pn². C'est une relation de récurrence entre Pn plus 1 et Pn. On va entrer dans le vif du sujet. On a la feuille de calcul qui nous donne les valeurs approchées, et il faut donner les valeurs exactes de P1 et P2. P1 et P2 sont les valeurs qui sont là. On va tout simplement les calculer. P1, c'est 0,3 plus 0,7 P0². On utilise tout simplement la formule. Après calcul, ça nous fait 0,363. P2, c'est 0,3 plus 0,7 P1². Après calcul, c'est 0,3922383. Ça fait un grand nombre après les virgules. Ensuite, on nous demande d'interpréter ces valeurs dans le contexte. On voit que d'une bactérie, elle a plus de chances d'avoir au plus 1 ou 2 descendants que 0. Ça veut dire qu'on a plus de chances de se reproduire, de se diviser pour une bactérie que de ne pas le faire au début. Dans la deuxième question, on nous dit quelle est la probabilité, arrondie à 10,3, au millième, d'obtenir au moins 11 générations de bactéries à partir d'une bactérie de ce type. La suite Pn, ça nous dit au plus... Ce ne serait pas exactement P11. Ce serait au moins P11. Pardon, ce serait au moins 11 générations. Là, au moins 11, c'est 1 moins P10. Ça veut dire tout sauf au plus 10. Ça fait 1 moins... Là, c'est la valeur de P10 qu'on observe dans le tableau. Ça fait à peu près 0,571. Ensuite, on nous dit formuler les conjectures sur les variations et la convergence de la suite Pn. Là, si on regarde le tableau qui est là, on a l'impression qu'on se dirige à peu près vers du 0,428, pas loin de... Ça a l'air de converger vers 0,428 en étant croissant. On voit qu'à chaque fois, quand on augmente par ici, ça veut dire quand les termes de la suite augmentent, la valeur de ces termes augmente. La suite a l'air d'être croissante et de converger vers une limite qui s'approcherait de 0,428, éventuellement 55 et quelques. C'est ce qu'on a l'air d'observer graphiquement. D'après le tableau, la suite semble croissante et ne pas dépasser 0,5, donc elle semble convergente. Démontrer maintenant par récurrence sur n que pour tout entier naturel n, on a Pn plus petit que Pn plus 1, et les deux sont compris entre 0 et 0,5. Là, on fait une récurrence classique. Ce qu'on va montrer, c'est la proposition de récurrence qui dépend de n. On la réécrit ici pour l'avoir sous les yeux. L'initialisation, il faut vérifier que P de 0 est vrai. Attention, l'initialisation, ce n'est pas 0 à chaque fois, c'est la plus petite valeur de n. Ici, c'est pour tout entier naturel n, donc la plus petite valeur de n, c'est 0. On vérifie que P0 est vrai. P0, c'est 0,3. P1, c'est 0,363. Donc, il y a une virgule ici. Donc, 0,363. Et on a bien l'inégalité, comme ça, que 0 plus petit que 0,3, plus petit que 0,363, plus petit que 0,5. Donc, P de 0 est vrai. Maintenant, on va montrer l'hérédité. Là, il y a la fameuse phrase classique qu'il faut recopier à chaque récurrence. On suppose que P de n est vrai pour un certain n. Cela veut dire qu'on a cette inégalité-là. Montrons alors que Pn plus 1 est vrai. C'est-à-dire qu'on a cette inégalité-là. Mais cette fois-ci, on met Pn plus 1 ici, et Pn plus 2 ici. Alors, on est parti. D'après l'hypothèse de récurrence, on a cette inégalité-là. C'est ce qu'on a supposé pour un certain n. Là, on applique la fonction carrée parce que le but, c'est de reconstruire les termes de la suite suivant. Pour les termes de la suite, il faut appliquer la fonction carrée. On est sur des nombres positifs. La fonction carrée est croissante. Elle est croissante sur les nombres positifs. On ne change pas le sens de l'inégalité. Et donc, on a bien 0 plus petit que Pn carré, plus petit que Pn plus 1 carré, plus petit que 0,25. On multiplie par 0,7. On a cette inégalité-là. On ajoute 0,3. On a cette inégalité-là. Et on reconnaît. Ici, on reconnaît que c'est Pn plus 1. Ici, on reconnaît que c'est Pn plus 2. Et on est à 0,3 et 0,475. Ce n'est pas ce qu'on veut, mais c'est même mieux en vrai que ce qu'on veut. Parce que si on est plus grand que 0,3, en particulier, on est plus grand que 0. Comme on est plus grand que 0,3, on est plus grand que 0. Et comme on est plus petit que 0,475, on est plus petit que 0,5. Comme on dit, qui peut le plus peut le moins. Finalement, on a l'inégalité recherchée à l'hérédité. Donc, Pn plus 1 est vrai aussi. Et donc, finalement, la proposition est vraie au rang n égale 0. Et elle est héréditaire. Donc, P de n, la proposition, est vraie pour toute n appartenant à n. Question d'après. Justifier que la suite est convergente. Bon, là, juste cette inégalité-là qu'on nous donne, suffit à justifier qu'elle est convergente. Parce que, où est-ce que c'est ? Pn est plus petit que Pn plus 1. Donc, ça, c'est la définition d'une suite croissante. La suite est croissante, et de plus, on a pour toute n que Pn est plus petit que 0,5. C'est l'inégalité qu'on vient de montrer. Donc, la suite est croissante et majorée. Donc, elle est convergente. Attention, là, il y a un piège. Il ne faut pas dire qu'elle est croissante et majorée par 0,5, donc elle converge vers 0,5. Ça, c'est faux. On va d'ailleurs le voir que c'est faux. Mais, c'est juste qu'elle est croissante et majorée, donc elle converge. C'est la seule info qu'on a. En réalité, on sait qu'elle converge vers une limite qui, elle aussi, va être majorée par 0,5. Mais, c'est tout. On ne sait pas la valeur de la limite. On a juste une info sur la limite, qu'elle est plus petite, elle aussi, que 0,5. Mais, c'est tout. Maintenant, on va trouver cette limite. Donc, on appelle l la limite de la suite, parce qu'on sait qu'elle existe. Il faut justifier qu'elle est solution de cette équation-là. Là, ce qu'on sait, c'est que Pn, quand n tend vers plus l'infini, tend vers l, mais Pn plus 1 aussi. Parce qu'en fait, Pn tend vers plus l'infini, mais Pn plus 1 aussi tend vers plus l'infini. Et c'est ça qu'on va utiliser. Donc, Pn plus 1, on écrit que c'est 0,3 plus 0,7 Pn au carré. Mais, on passe à la limite là-dedans. Et donc, on a Pn plus 1 qui tend vers l, Pn qui tend aussi vers l, donc on les remplace par l en passant à la limite. Et donc, on a que l est égal à 0,3 plus 0,7 l au carré. Donc, en passant tout du même côté, ça veut dire en passant le l à droite, on retrouve bien cette équation-là et on voit que l vérifie cette égalité, donc l est bien solution de l'équation qu'on nous donne ici. Et ensuite, déterminer alors la limite de la suite Pn. Il faut résoudre cette équation tout simplement, c'est une équation du second degré, on sait le faire. Donc, on a cette équation-là. Pardon, on a ce polynôme-là, on va en déterminer les racines, donc on fait le delta, b²-4ac, on trouve 0,16, strictement positif, donc il y a deux racines réelles. X1 qui vaut moins b moins racine de delta sur 2a, on remplace par les valeurs, et à la fin, on trouve 3 septième qui vaut à peu près 0,430. Et X2 qui vaut moins b plus racine de delta sur 2a, pareil, on remplace par les valeurs, on trouve que ça fait 1. Mais étant donné que la suite Pn est majorée par 0,5, comme je disais, la seule info qu'on a sur la limite, c'est qu'elle aussi, la limite, est majorée par 0,5. Donc 1 il est exclu. Donc nécessairement, la seule valeur possible c'est X1 qui est 3 septième, donc c'est la limite. Donc voilà, là on a la limite, c'est 3 septième, c'est pas 0,5. C'est comme je disais tout à l'heure, ça aurait été faux de conclure que, étant donné que la suite est croissante et majorée par 0,5, sa limite, c'est 0,5. Ça aurait été faux parce qu'on vient de voir que la limite, c'est 3 septième qui fait à peu près 0,430 si on arrondit. Ensuite, la fonction suivante écrit en gage Python a pour objectif de renvoyer les n premiers termes de la suite. Donc là, il faut recopier, moi j'ai directement rempli, le but c'est de compléter ça. Donc ce qu'on veut, c'est que ça calcule les termes de la suite et que ça les renvoie. Donc, à la fin, on voit qu'on a return s. Donc, notre fonction va nous renvoyer s. Donc on veut que les valeurs de la suite, des n premiers termes de la suite, soient dans s qui est un tableau. D'accord ? Quand on est entre crochet et dans Python, c'est qu'on est un tableau. Et s, on l'introduit comme étant un tableau avec la valeur de p. La valeur de p, on veut que ce soit une valeur de la suite. En l'occurrence, la première valeur de la suite, donc p, donne la valeur de p0, la première valeur de notre suite pn. Donc on met 0,3 ici. Ensuite, on veut avoir pour i une range n-1. On fait certains calculs et ensuite on return s. On veut les n premiers termes de la suite. Donc là, il faut savoir comment la fonction range marche. La fonction range marche quand on a range n-1. En fait, on a n-1 itération, n-1 itération. On ne fait pas de 0 à n-1. En fait, on fait n-1 itération. Donc, ici, il aurait été faux de marquer n, parce qu'on veut les n premières valeurs. Étant donné qu'on en a déjà une, si on marque n ici, on va avoir n itérations. Donc au final, notre tableau, on va voir après, on va remplir notre tableau à chaque itération. Notre tableau, on le remplit... Pardon. Si on écrit n ici, notre tableau, on le remplira n fois de plus, parce qu'on en a déjà une, donc on aura n plus une valeur. Donc, il faut qu'on en ait n-1 ici. Et ensuite, le calcul qu'on doit faire sur p, c'est la relation de récurrence entre pn plus 1 et pn. Donc, la nouvelle valeur de p devient 0,3 plus 0,7 étoile p étoile p, ce qui veut dire fois p au carré. Et ensuite, cette nouvelle valeur de p, qui est la valeur du terme suivant dans la suite, on l'intègre dans notre tableau avec la fonction append, ça c'est une fonction qu'il faut connaître en piton, pour dire que cette valeur, on la met dans notre tableau. En gros, notre tableau, on lui met une case de plus et on met cette valeur dedans. Et à la fin, on affiche le tableau. C'est comme ça qu'on remplit cet algorithme pour qu'il nous affiche les n premiers termes de la suite. Voilà, ça conclut cet exercice.

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