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Bac Maths

Nouvelle Calédonie 

Dans cet exercice, nous étudions la fonction exponentielle et une suite définie par récurrence. Tout d'abord, nous calculons les premiers termes de la suite, u1 et u2, en utilisant la fonction f définie par f(x) = x^3 * e^x. Ensuite, nous démontrons par dérivation que pour tout x réel, f'(x) = x^2 * e^x * (x+3). En utilisant les variations de cette fonction, nous justifions le tableau de variation de f. Enfin, nous démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, -1 ≤ un ≤ 0. Pour cela, nous montrons que la proposition est vraie au rang 0, et nous supposons qu'elle soit vraie au rang n pour montrer qu'elle est vraie au rang n+1. En utilisant cette propriété, nous déduisons que la suite un est croissante et majorée par 0, et donc elle converge vers un réel l ≤ 0. En résolvant l'équation f(x) = x, nous trouvons que l est nécessairement égal à 0. Ainsi, nous avons déterminé la limite de la suite un.

Salut, bienvenue dans cet exercice de bac sur les suites fonctions et en particulier la fonction exponentielle. On nous donne une fonction f x cube fois exponentielle de x et on va faire des trucs classiques de fonctions, on va l'étudier, on va voir ses variations tout ça, mais on va introduire aussi une suite comme ça définie par récurrence par un plus un égale f de un avec 0 égale moins 1. Donc voilà ce qu'on va faire c'est on va étudier pour commencer ici la fonction avec ses variations tout ça, on va avoir une petite récurrence à faire, classique dans un exode suite, et on va finalement trouver la limite de la suite qui va correspondre au ce qu'on appelle un point fixe de la fonction. Donc on va voir un peu ce qu'il en est. Donc pour commencer on nous demande de calculer u1 puis u2, donc c'est parti. u1 c'est f de u0, f de u0, u0 c'est moins 1, on a juste à calculer, ça fait moins 1 puissance 3 exponentielle de moins 1, ça fait juste moins exponentielle de moins 1, exponentielle de moins 1 c'est 1 sur e, donc ça fait moins 1 sur e, ce qui fait à peu près moins 0,368. u2 c'est f de u1, donc c'est moins 1 sur e puissance 3 fois exponentielle de moins 1 sur e, donc pareil après arrondi, après arrondi on trouve moins 0,034. Ensuite on nous dit, on considère la fonction func écrit en langage Python ci-dessous là, on rappelle, donc là on nous rappelle ce que c'est que la fonction range, alors attention on ne le rappelle pas tout le temps, la fonction range on l'utilise souvent dans les exos quand il y a du Python qui intervient, mais bon là coup de chance on nous rappelle ce que ça veut dire cette fonction, on ne le rappelle pas tout le temps. Donc la fonction range, quand on dit i in range n, ça veut dire que i varie de 0 à n moins 1, ça veut dire qu'on commence à 0 et on fait n itérations, d'accord, le n veut pas dire qu'on s'arrête à n, ça veut dire qu'on fait n itérations et qu'on commence à 0. Donc le fait d'avoir, voilà, func 2, ça veut dire que on va, i va valoir 0 et 1, donc on va faire deux itérations, alors maintenant on va voir on fait deux itérations de quoi, donc u il commence à moins 1, comme par hasard, comme u0, et à chaque itération on calcule, on donne une nouvelle valeur à u qui vaut u puissance 3 exponentielle de u, on sait exactement f de u, donc là en fait ce qu'on fait c'est on calcule les termes suivants de la suite, donc u vaut u0, mais on va faire deux itérations, à la première itération le u vaudra u1, à la deuxième itération le u vaudra u2, donc func 2 c'est u2 et donc c'est à peu près moins 0,034. Ensuite question 2, petit a, on nous dit démontrer que pour tout x réel on a f prime de x égale x carré exponentielle de x fois x plus 3, bon c'est faire une dérivée d'une fonction de polynôme exponentielle, f elle est dérivable sur r comme un produit de fonctions dérivables, un polynôme c'est dérivable, l'exponentielle c'est dérivable, il n'y a aucun souci avec, donc là comme je disais c'est un produit, donc on utilise la formule qu'on a u fois v, la formule c'est u prime v plus u v prime, donc là la dérivée c'est 2 x 3 c'est 3 x carré exponentielle plus le polynôme et la dérivée d'exponentielle qui est quand même elle même, on factorise par exponentielle, on se retrouve avec 3 x carré plus x 3 dans la parenthèse, on peut encore factoriser, on ne voit pas x carré, donc on a x carré exponentielle de, pardon x fois 3 plus x, c'est exactement ce qu'on nous demandait de trouver, bon voilà. Ensuite pour la question b, justifier que le tableau de variation de f c'est celui-là, bon bah là il faut le faire, donc x carré exponentielle de x c'est positif, x carré c'est positif, exponentielle strictement positive, donc le produit des deux sera positif, il n'y a pas de souci, donc f prime c'est du signe de 3 plus x, qui est une fonction affine, fonction affine, coefficient directeur ici c'est 1 positif, donc elle sera négative 0 positive, elle s'annule en moins 3, donc on a ce tableau de signe pour f, donc on a finalement décroissant puis croissant, pardon, ce tableau de signe pour f prime, excusez-moi, et ce tableau de variation pour f, donc décroissant puis croissant, on met les limites, donc celle-ci c'est en plus l'infini, donc x3 exponentielle de x, en plus l'infini ça fait plus l'infini, en moins l'infini ça c'est la croissance comparée, c'est l'exponentielle qui l'emporte, ça fait 0, et en moins 3 c'est f2 moins 3, f2 moins 3, on calcule ça fait moins 27 exponentielle de moins 3, donc finalement on a bien ce tableau de variation. On nous demande à la fin de démontrer par récurrence qu'on a pour tout entier naturel moins 1, inférieur ou égal à un, inférieur ou égal à un plus 1, inférieur ou égal à 0, bon ben voilà, il faut faire une récurrence, très classique dans un exode suite, donc on va montrer la propriété qui dépend de n suivante, donc voilà comme on vient de le dire, on va montrer que p0 est vraie, propriété au rang 0, u0 c'est moins 1, u1 c'est à peu près moins 0,368, donc on a bien l'inégalité suivante, donc moins 1, inférieur ou égal à u0, inférieur ou égal à u1, inférieur, même strict ici, à 0, donc p de 0 est vraie. L'hérédité maintenant c'est toujours la partie un peu plus difficile dans les récurrences, donc on suppose qu'il existe n appartenant à N tel que p de N est vrai, ça veut dire qu'on a cette inégalité là qu'on vient de supposer. Montrons alors que p de N plus 1 est vrai, ça veut dire que moins 1, inférieur ou égal à un plus 1, inférieur ou égal à un plus 2, inférieur ou égal à 0. D'après l'hypothèse de récurrence, donc là on utilise directement l'hypothèse de récurrence, on a que moins 1, inférieur ou égal à un, inférieur ou égal à un plus 1, inférieur ou égal à 0. Là on veut faire apparaître un plus 1, un plus 2, on a un, on a un plus 1, pour faire apparaître un plus 1, un plus 2, on utilise la fonction f, on applique f qui est croissante sur moins 1, 0, parce que là il faut faire attention, f, ses variations ne sont pas constantes, parce qu'on a des croissants puis croissants, mais là on voit qu'on est entre moins 1 et 0. Entre moins 1 et 0, on est là dans le tableau de variations, on est là et donc on est croissant, enfin f est croissante sur cet intervalle. Donc f est croissante sur cet intervalle, donc en appliquant la fonction on ne change pas le sens de l'inégalité, donc on a f de moins 1, inférieur ou égal à f de un, inférieur ou égal à un plus 1, inférieur ou égal à f de 0. f de moins 1 ça fait u1, f de un ça fait un plus 1, f de un plus 1 ça fait un plus 2, f de 0 ça c'est 0. Mais u1 c'est bien supérieur à moins 1, comme on l'a vu, donc on a bien que pn plus 1 est vrai, parce que si on oublie celui-ci, qui est juste une étape, on a bien l'inégalité recherchée. Donc finalement la proposition est vraie pour n égale à 0 et elle est héréditaire, donc elle est vraie tout le temps pour tout n appartenant à N. Ensuite question D, en déduire que un est convergente. Là si on regarde cette inégalité là, on a un inférieur ou égal à un plus 1, donc ça nous dit que un est croissante, inférieur ou égal à 0, donc elle est croissante et majorée. Une suite croissante majorée converge, elle est croissante et majorée par 0, donc elle converge vers un réel, on l'appelle petit l parce qu'on l'appellera l après, donc autant l'appeler tout de suite. Et la seule info qu'on ait sur ce l, c'est qu'il est inférieur ou égal à 0. Une erreur serait de dire que l est égale à 0 parce qu'elle est majorée par 0. Ça bon, ce sera peut-être vrai, on verra, mais c'est pas une information qu'on a. La seule information qu'on ait quand elle est croissante et majorée par 0, c'est que la limite existe et qu'elle est elle aussi majorée par 0. Donc on a l inférieur ou égal à 0. Ensuite on note l la limite, c'est déjà fait. On rappelle que l est solution de l'équation f de x égale x, ça voilà, parce qu'on a l égale f de u n, les deux en passant la limite on a l égale f de l. Donc déterminer l, pour cela on admettra que l'équation celle-ci possède une unique solution dans R et qu'elle est strictement supérieure à l. Pour l'instant on ne sait pas trop d'où ça sort ce résultat, on va voir si on peut l'utiliser un moment. Donc on va résoudre f de x égale x et on va trouver l comme ça. Donc f de x égale x, ça fait exponentielle de x égale x, on passe le x de l'autre côté, ça nous fait x facteur de x carré. Alors au passage, j'en profite parce que pourquoi j'ai passé le x de l'autre côté en faisant moins x et pas en divisant ? Si je divise par x, il faut que je fasse attention à ne pas diviser par 0. Mais là on voit que 0 va m'intéresser, ça va être une possible solution. Donc si je veux diviser par x et me retrouver avec juste du x carré ici, il faut que je dise ben attention x est différent de 0. Mais pourquoi il sera différent de 0 ? x peut être égal à 0. Donc je vais m'en occuper en le passant de l'autre côté en faisant moins x ici. Donc ensuite je factorise par x, ça me fait x carré exponentielle de x moins 1. Donc là j'ai un produit de facteur nul, ça on commence à savoir faire maintenant. Donc soit celui-là égale 0, x égale 0, soit celui-là égale 0, mais on retrouve exactement ce qu'on nous avait dit. Cette équation égale 0 admet une unique solution qui est supérieure à 1,5. Donc soit l et cette solution, soit l c'est la solution de cette équation. Donc soit l égale 0, soit l c'est ça. Mais la seule information qu'on a sur l c'est qu'il est inférieur ou égal à 0, comme la même majoration que la suite u n. Donc l ne peut pas être solution de cette équation-là parce que la seule solution est plus grande qu'1,5. Donc finalement l vaut forcément 0. Et donc voilà ce qui conclut cet exercice.

Suites et fonctions - Nouvelle Calédonie 2022

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